自然数が規則的に並んだ表において、上から2段目、左からn列目の数を含む斜めに3つ並んだ数の和をnを用いて表す問題です。ただし、$n$は2以上の自然数とします。

1. 問題の内容

自然数が規則的に並んだ表において、上から2段目、左からn列目の数を含む斜めに3つ並んだ数の和をnを用いて表す問題です。ただし、$n$は2以上の自然数とします。

2. 解き方の手順

まず、表の数の規則性を見つけます。

* 1段目の数列は、$1, 6, 7, 12, ...$で、差は$5, 1, 5, ...$ となっています。

* 2段目の数列は、$2, 5, 8, 11, ...$で、差は$3, 3, 3, ...$となっています。

* 3段目の数列は、$3, 4, 9, 10, ...$で、差は$1, 5, 1, ...$となっています。

問題文より、求めたいのは上から2段目、左からn列目の数を含む斜めに3つ並んだ数の和です。この3つの数は、

* 上から1段目、左から(n-1)列目の数

* 上から2段目、左からn列目の数

* 上から3段目、左から(n+1)列目の数

です。

これらの数をそれぞれ求めます。

* 2段目の数列は、$2, 5, 8, 11, ...$で、初項が2、公差が3の等差数列です。したがって、2段目のn列目の数は$2 + 3(n-1) = 3n-1$ と表されます。

* 1段目の数列をよく見ると、 $1, 6, 7, 12, 13, 18,...$となっており、奇数番目は $5(k-1)+1$, 偶数番目は$5(k-1)+6$と表せることがわかります.

nが奇数か偶数かによって場合分けして考えます。

もしnが奇数ならば、1段目(n-1)列目の数は$3(n-1)-4 = 3n - 7$　と表せる

もしnが偶数ならば、1段目(n-1)列目の数は$3(n-1)$と表せる

* 3段目の数列をよく見ると、 $3, 4, 9, 10, 15, 16,...$となっており、奇数番目は $6(k-1)+3$, 偶数番目は$6(k-1)+4$と表せることがわかります.

したがって、3段目のn+1列目の数は$2 + 3(n+1)-3 = 3n +2$

したがって、斜めに並んだ3つの数の和は、$3n-7 + 3n-1 + 3n+2 = 9n - 6$

あるいは、$3(n-2) + 3n -1 + 3n+5 = 9n - 6$

3. 最終的な答え

$9n-6$