与えられた漸化式と初期条件から数列$\{a_n\}$の一般項を求めます。 (1) 初期条件：$a_1 = 0, a_2 = 2$ 漸化式：$a_{n+2} + 3a_{n+1} - 4a_n = 0$ (2) 初期条件：$a_1 = 0, a_2 = 1$ 漸化式：$9a_{n+2} - 6a_{n+1} + a_n = 0$

1. 問題の内容

与えられた漸化式と初期条件から数列$\{a_n\}$の一般項を求めます。

(1) 初期条件：$a_1 = 0, a_2 = 2$

漸化式：$a_{n+2} + 3a_{n+1} - 4a_n = 0$

(2) 初期条件：$a_1 = 0, a_2 = 1$

漸化式：$9a_{n+2} - 6a_{n+1} + a_n = 0$

2. 解き方の手順

(1)

特性方程式を立てます。

$x^2 + 3x - 4 = 0$

この方程式を解きます。

$(x+4)(x-1) = 0$

$x = -4, 1$

したがって、一般項は

$a_n = A(-4)^n + B(1)^n = A(-4)^n + B$

初期条件を使ってAとBを求めます。

$a_1 = -4A + B = 0$

$a_2 = 16A + B = 2$

この連立方程式を解きます。

$20A = 2 \implies A = \frac{1}{10}$

$B = 4A = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

よって、$a_n = \frac{1}{10}(-4)^n + \frac{2}{5}$

(2)

特性方程式を立てます。

$9x^2 - 6x + 1 = 0$

この方程式を解きます。

$(3x-1)^2 = 0$

$x = \frac{1}{3}$ (重解)

したがって、一般項は

$a_n = (An + B)(\frac{1}{3})^n$

初期条件を使ってAとBを求めます。

$a_1 = (A + B) \frac{1}{3} = 0$

$a_2 = (2A + B) \frac{1}{9} = 1$

この連立方程式を解きます。

$A + B = 0 \implies B = -A$

$(2A - A) \frac{1}{9} = 1$

$A = 9$

$B = -9$

よって、$a_n = (9n - 9)(\frac{1}{3})^n = 9(n-1)(\frac{1}{3})^n$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{1}{10}(-4)^n + \frac{2}{5}$

(2) $a_n = 9(n-1)(\frac{1}{3})^n$