数列 $\{a_n\}$ は、$a_1 = 2$ と漸化式 $a_{n+1} = \frac{a_n}{3a_n + 1}$ で定義される。この数列の一般項 $a_n$ を求めよ。

わかりました。画像にある数列の問題を解いていきます。今回は、(1) の問題を解きます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は、$a_1 = 2$ と漸化式 $a_{n+1} = \frac{a_n}{3a_n + 1}$ で定義される。この数列の一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この漸化式は、逆数をとることで扱いやすくなります。まず、与えられた漸化式の両辺の逆数をとります。

$$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{3a_n + 1}{a_n} = 3 + \frac{1}{a_n}$$

ここで、$b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくと、

$$b_{n+1} = 3 + b_n$$

これは、$b_{n+1} - b_n = 3$ と変形できるので、数列 $\{b_n\}$ は公差が 3 の等差数列です。

初項 $b_1$ は、$b_1 = \frac{1}{a_1} = \frac{1}{2}$ です。

したがって、$b_n$ の一般項は、

$$b_n = b_1 + (n-1)d = \frac{1}{2} + (n-1) \cdot 3 = 3n - \frac{5}{2} = \frac{6n - 5}{2}$$

$b_n = \frac{1}{a_n}$ より、$a_n = \frac{1}{b_n}$ なので、

$$a_n = \frac{1}{\frac{6n-5}{2}} = \frac{2}{6n-5}$$

3. 最終的な答え

したがって、数列 $\{a_n\}$ の一般項は、

$$a_n = \frac{2}{6n-5}$$