自然数 $n$ に対して、自然数 $a_n$, $b_n$ が $(1+\sqrt{2})^n = a_n + b_n\sqrt{2}$ を満たす。 (1) $a_1, b_1, a_2, b_2$ を求めよ。 (2) $a_{n+1}, b_{n+1}$ を $a_n, b_n$ で表せ。 (3) 数列 $\{a_n - b_n\sqrt{2}\}$ の一般項を求めよ。 (4) 数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ の一般項をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、自然数 $a_n$, $b_n$ が $(1+\sqrt{2})^n = a_n + b_n\sqrt{2}$ を満たす。

(1) $a_1, b_1, a_2, b_2$ を求めよ。

(2) $a_{n+1}, b_{n+1}$ を $a_n, b_n$ で表せ。

(3) 数列 $\{a_n - b_n\sqrt{2}\}$ の一般項を求めよ。

(4) 数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ の一般項をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $n=1$ のとき、$(1+\sqrt{2})^1 = a_1 + b_1\sqrt{2}$ より、 $a_1 = 1, b_1 = 1$。

$n=2$ のとき、$(1+\sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2} = a_2 + b_2\sqrt{2}$ より、 $a_2 = 3, b_2 = 2$。

(2) $(1+\sqrt{2})^{n+1} = (1+\sqrt{2})^n (1+\sqrt{2}) = (a_n + b_n\sqrt{2})(1+\sqrt{2}) = a_n + a_n\sqrt{2} + b_n\sqrt{2} + 2b_n = (a_n + 2b_n) + (a_n + b_n)\sqrt{2}$

また、 $(1+\sqrt{2})^{n+1} = a_{n+1} + b_{n+1}\sqrt{2}$ であるから、

$a_{n+1} = a_n + 2b_n$

$b_{n+1} = a_n + b_n$

(3) $a_n - b_n\sqrt{2} = (1+\sqrt{2})^n c_n$とおく

$(1-\sqrt{2})^n = A_n + B_n \sqrt{2}$とおく

$a_{n+1} - b_{n+1}\sqrt{2} = (a_n + 2b_n) - (a_n + b_n)\sqrt{2} = a_n - b_n\sqrt{2} + 2b_n - a_n\sqrt{2}$

ここで、$(1-\sqrt{2})^n = a_n - b_n\sqrt{2}$ と推測する。

数学的帰納法で証明する。

$n=1$ のとき、$a_1 - b_1\sqrt{2} = 1 - \sqrt{2}$ であり、$(1-\sqrt{2})^1 = 1-\sqrt{2}$ なので成立する。

$n=k$ のとき、$(1-\sqrt{2})^k = a_k - b_k\sqrt{2}$ が成立すると仮定する。

$n=k+1$ のとき、

$(1-\sqrt{2})^{k+1} = (1-\sqrt{2})^k (1-\sqrt{2}) = (a_k - b_k\sqrt{2})(1-\sqrt{2}) = a_k - a_k\sqrt{2} - b_k\sqrt{2} + 2b_k = (a_k+2b_k) - (a_k+b_k)\sqrt{2} = a_{k+1} - b_{k+1}\sqrt{2}$

よって、$n=k+1$ でも成立する。

したがって、数列 $\{a_n - b_n\sqrt{2}\}$ の一般項は $(1-\sqrt{2})^n$

(4) $a_n + b_n\sqrt{2} = (1+\sqrt{2})^n$

$a_n - b_n\sqrt{2} = (1-\sqrt{2})^n$

上記二式を足すと、 $2a_n = (1+\sqrt{2})^n + (1-\sqrt{2})^n$

$a_n = \frac{(1+\sqrt{2})^n + (1-\sqrt{2})^n}{2}$

上記二式を引き算すると、 $2b_n\sqrt{2} = (1+\sqrt{2})^n - (1-\sqrt{2})^n$

$b_n = \frac{(1+\sqrt{2})^n - (1-\sqrt{2})^n}{2\sqrt{2}}$

3. 最終的な答え

(1) $a_1 = 1, b_1 = 1, a_2 = 3, b_2 = 2$

(2) $a_{n+1} = a_n + 2b_n$, $b_{n+1} = a_n + b_n$

(3) $(1-\sqrt{2})^n$

(4) $a_n = \frac{(1+\sqrt{2})^n + (1-\sqrt{2})^n}{2}$, $b_n = \frac{(1+\sqrt{2})^n - (1-\sqrt{2})^n}{2\sqrt{2}}$