数列 $\{a_n\}$ が以下の漸化式で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。 $a_1 = 2, \quad a_{n+1} = \frac{a_n}{3a_n + 1}$

## 問題 B-1(1) の解答

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が以下の漸化式で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

$a_1 = 2, \quad a_{n+1} = \frac{a_n}{3a_n + 1}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式の逆数をとることを考えます。

$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{3a_n + 1}{a_n} = 3 + \frac{1}{a_n}$

ここで、$b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくと、

$b_{n+1} = 3 + b_n$

この漸化式は、公差が $3$ の等差数列を表しています。

$b_1 = \frac{1}{a_1} = \frac{1}{2}$ なので、$b_n$ の一般項は、

$b_n = b_1 + (n-1)d = \frac{1}{2} + (n-1) \times 3 = 3n - \frac{5}{2} = \frac{6n-5}{2}$

したがって、$a_n$ は

$a_n = \frac{1}{b_n} = \frac{2}{6n-5}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{2}{6n-5}$