与えられた2次関数の定義域における最大値と最小値を求めます。 (1) $y = x^2 - 2x - 3 \quad (-2 \le x \le 5)$ (2) $y = -2x^2 - 4x + 1 \quad (-2 \le x \le 1)$ (3) $y = 2x^2 + 6x + 3 \quad (-3 \le x \le 0)$ (4) $y = -3x^2 + 3x + 1 \quad (1 \le x \le 2)$

1. 問題の内容

与えられた2次関数の定義域における最大値と最小値を求めます。

(1) $y = x^2 - 2x - 3 \quad (-2 \le x \le 5)$

(2) $y = -2x^2 - 4x + 1 \quad (-2 \le x \le 1)$

(3) $y = 2x^2 + 6x + 3 \quad (-3 \le x \le 0)$

(4) $y = -3x^2 + 3x + 1 \quad (1 \le x \le 2)$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - 2x - 3$

平方完成します。

$y = (x - 1)^2 - 4$

頂点は $(1, -4)$ です。軸は $x = 1$ です。

定義域は $-2 \le x \le 5$ です。

$x = -2$ のとき $y = (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5$

$x = 5$ のとき $y = 5^2 - 2(5) - 3 = 25 - 10 - 3 = 12$

$x = 1$ のとき $y = -4$

最大値は $12$ ($x=5$のとき), 最小値は $-4$ ($x=1$のとき)

(2) $y = -2x^2 - 4x + 1$

平方完成します。

$y = -2(x^2 + 2x) + 1 = -2(x + 1)^2 + 2 + 1 = -2(x + 1)^2 + 3$

頂点は $(-1, 3)$ です。軸は $x = -1$ です。

定義域は $-2 \le x \le 1$ です。

$x = -2$ のとき $y = -2(-2)^2 - 4(-2) + 1 = -8 + 8 + 1 = 1$

$x = 1$ のとき $y = -2(1)^2 - 4(1) + 1 = -2 - 4 + 1 = -5$

$x = -1$ のとき $y = 3$

最大値は $3$ ($x=-1$のとき), 最小値は $-5$ ($x=1$のとき)

(3) $y = 2x^2 + 6x + 3$

平方完成します。

$y = 2(x^2 + 3x) + 3 = 2(x + \frac{3}{2})^2 - 2 \cdot \frac{9}{4} + 3 = 2(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} + \frac{6}{2} = 2(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{3}{2}$

頂点は $(-\frac{3}{2}, -\frac{3}{2})$ です。軸は $x = -\frac{3}{2}$ です。

定義域は $-3 \le x \le 0$ です。

$x = -3$ のとき $y = 2(-3)^2 + 6(-3) + 3 = 18 - 18 + 3 = 3$

$x = 0$ のとき $y = 3$

$x = -\frac{3}{2}$ のとき $y = -\frac{3}{2}$

最大値は $3$ ($x=-3, 0$のとき), 最小値は $-\frac{3}{2}$ ($x=-\frac{3}{2}$のとき)

(4) $y = -3x^2 + 3x + 1$

平方完成します。

$y = -3(x^2 - x) + 1 = -3(x - \frac{1}{2})^2 + 3 \cdot \frac{1}{4} + 1 = -3(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} + \frac{4}{4} = -3(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{7}{4}$

頂点は $(\frac{1}{2}, \frac{7}{4})$ です。軸は $x = \frac{1}{2}$ です。

定義域は $1 \le x \le 2$ です。

$x = 1$ のとき $y = -3(1)^2 + 3(1) + 1 = -3 + 3 + 1 = 1$

$x = 2$ のとき $y = -3(2)^2 + 3(2) + 1 = -12 + 6 + 1 = -5$

$x=1$ が定義域に最も近い頂点から遠い点。

最大値は $1$ ($x=1$のとき), 最小値は $-5$ ($x=2$のとき)

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 12, 最小値: -4

(2) 最大値: 3, 最小値: -5

(3) 最大値: 3, 最小値: -3/2

(4) 最大値: 1, 最小値: -5