与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ の余因子行列と逆行列を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列

$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

の余因子行列と逆行列を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、余因子行列を計算します。余因子 $C_{ij}$ は、行列Aからi行とj列を取り除いた小行列の行列式に $(-1)^{i+j}$ をかけたものです。

$C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (2 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) = -2 - 1 = -3$

$C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -( (-1) \cdot (-1) - 1 \cdot 2 ) = -(1 - 2) = 1$

$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (-1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) = -1 - 4 = -5$

$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -( (-1) \cdot (-1) - 2 \cdot 1 ) = -(1 - 2) = 1$

$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = (1 \cdot (-1) - 2 \cdot 2) = -1 - 4 = -5$

$C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(1 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) = -(1 + 2) = -3$

$C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (-1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) = -1 - 4 = -5$

$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -(1 \cdot 1 - 2 \cdot (-1)) = -(1 + 2) = -3$

$C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2 - (-1) \cdot (-1)) = 2 - 1 = 1$

余因子行列は次のようになります。

$C = \begin{pmatrix} -3 & 1 & -5 \\ 1 & -5 & -3 \\ -5 & -3 & 1 \end{pmatrix}$

随伴行列は、余因子行列の転置です。

$adj(A) = C^T = \begin{pmatrix} -3 & 1 & -5 \\ 1 & -5 & -3 \\ -5 & -3 & 1 \end{pmatrix}$

次に、行列Aの行列式を計算します。

$det(A) = 1 \cdot (2 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) - (-1) \cdot ((-1) \cdot (-1) - 1 \cdot 2) + 2 \cdot ((-1) \cdot 1 - 2 \cdot 2) = 1 \cdot (-3) + 1 \cdot (-1) + 2 \cdot (-5) = -3 - 1 - 10 = -14$

最後に、逆行列を計算します。

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} adj(A) = \frac{1}{-14} \begin{pmatrix} -3 & 1 & -5 \\ 1 & -5 & -3 \\ -5 & -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{14} & -\frac{1}{14} & \frac{5}{14} \\ -\frac{1}{14} & \frac{5}{14} & \frac{3}{14} \\ \frac{5}{14} & \frac{3}{14} & -\frac{1}{14} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

余因子行列:

$\begin{pmatrix} -3 & 1 & -5 \\ 1 & -5 & -3 \\ -5 & -3 & 1 \end{pmatrix}$

逆行列:

$\begin{pmatrix} \frac{3}{14} & -\frac{1}{14} & \frac{5}{14} \\ -\frac{1}{14} & \frac{5}{14} & \frac{3}{14} \\ \frac{5}{14} & \frac{3}{14} & -\frac{1}{14} \end{pmatrix}$