与えられた行列のランクを求める問題です。行列は以下の通りです。 $ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列のランクを求める問題です。行列は以下の通りです。

$$

\begin{pmatrix}

0 & 1 & 1 & -1 \\

0 & -1 & -1 & 1 \\

0 & 1 & 1 & -1

\end{pmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列のランクは、線形独立な行（または列）の最大数です。与えられた行列に対して行基本変形を行い、階段行列に変形することでランクを求めます。

まず、与えられた行列を以下のように表します。

$$

A = \begin{pmatrix}

0 & 1 & 1 & -1 \\

0 & -1 & -1 & 1 \\

0 & 1 & 1 & -1

\end{pmatrix}

$$

2行目を1行目に足し合わせます（$R_2 \rightarrow R_2 + R_1$）。

$$

\begin{pmatrix}

0 & 1 & 1 & -1 \\

0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 1 & -1

\end{pmatrix}

$$

3行目から1行目を引きます。（$R_3 \rightarrow R_3 - R_1$）

$$

\begin{pmatrix}

0 & 1 & 1 & -1 \\

0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

階段行列になったので、0でない行の数を数えます。この行列では、0でない行は1行のみです。したがって、行列のランクは1です。

3. 最終的な答え

1