$a+b = \sqrt{3}(\sqrt{3}-\sqrt{2})$、 $a-b = \sqrt{3}(\sqrt{2}-\sqrt{3})$ のとき、$a^2+b^2$ と $ab$ の値を求めよ。

代数学式の計算連立方程式平方根
2025/7/22

1. 問題の内容

a+b=3(32)a+b = \sqrt{3}(\sqrt{3}-\sqrt{2})ab=3(23)a-b = \sqrt{3}(\sqrt{2}-\sqrt{3}) のとき、a2+b2a^2+b^2abab の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、aabbの値を求める。
a+ba+baba-b の式を足し合わせることで、bbを消去できる。
(a+b)+(ab)=3(32)+3(23)(a+b) + (a-b) = \sqrt{3}(\sqrt{3}-\sqrt{2}) + \sqrt{3}(\sqrt{2}-\sqrt{3})
2a=3332+32332a = \sqrt{3}\sqrt{3} - \sqrt{3}\sqrt{2} + \sqrt{3}\sqrt{2} - \sqrt{3}\sqrt{3}
2a=36+632a = 3 - \sqrt{6} + \sqrt{6} - 3
2a=02a = 0
a=0a = 0
次に、a=0a=0a+b=3(32)a+b = \sqrt{3}(\sqrt{3}-\sqrt{2}) に代入して、bbを求める。
0+b=3(32)0 + b = \sqrt{3}(\sqrt{3}-\sqrt{2})
b=3332b = \sqrt{3}\sqrt{3} - \sqrt{3}\sqrt{2}
b=36b = 3 - \sqrt{6}
a2+b2a^2+b^2 を計算する。
a2+b2=02+(36)2a^2+b^2 = 0^2 + (3-\sqrt{6})^2
a2+b2=0+(36)(36)a^2+b^2 = 0 + (3-\sqrt{6})(3-\sqrt{6})
a2+b2=93636+6a^2+b^2 = 9 - 3\sqrt{6} - 3\sqrt{6} + 6
a2+b2=1566a^2+b^2 = 15 - 6\sqrt{6}
abab を計算する。
ab=0×(36)ab = 0 \times (3-\sqrt{6})
ab=0ab = 0

3. 最終的な答え

a2+b2=1566a^2+b^2 = 15 - 6\sqrt{6}
ab=0ab = 0

「代数学」の関連問題

問題1:直線 $y = 2x + 3$ について、(1)傾きを求めよ、(2)y軸切片を求めよ。 問題2:(1)傾きが3で、y軸切片が-2の直線を求めよ。(2)点A(1, 3)を通り、傾きが2の直線を求...

一次関数直線傾きy切片
2025/7/22

2つの2次関数 $y = x^2 - 2$ と $y = x^2 + 4x + 1$ があり、区間 $t \le x \le 0$ (tは負の定数) におけるそれぞれの最大値を $M$、最小値を $m...

二次関数平行移動最大値最小値平方完成
2025/7/22

(1) 実数 $x$ に関する条件「$x < -1$ または $2 < x$」の否定を求める。 (2) $x$ は実数とする。命題「$|x-2| \le 1$ ならば $|1-x| \le 2$ であ...

命題論理否定対偶必要条件十分条件絶対値
2025/7/22

問題は2つのパートに分かれています。 パート1では、与えられた対数の大小を比較します。具体的には、 (1) $\log_2 10$, $\log_3 10$, $\log_5 10$ (2) $\lo...

対数指数大小比較対数関数指数関数
2025/7/22

問4では、多項式 $p(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2$ について、(1) $p(1)$ の値を求め、(2) $p(x)$ を因数分解し、(3) $p(x)=0$ となる $x$ の値...

多項式因数分解方程式解の公式
2025/7/22

多項式 $p(x) = x^3 + 5x^2 + 3x + 2$ が与えられている。 (1) $p(0)$ の値を求めよ。 (2) $p(-1)$ の値を求めよ。 (3) $p(x)$ を $x-1$...

多項式剰余の定理関数の評価
2025/7/22

与えられた式 $x^2 + x - 1 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を定める問題です。

恒等式多項式係数比較
2025/7/22

問題1は、多項式 $2x^2 + 7x + 9$ を $x + 1$ で割ったときの商と余りを求める問題です。 問題2は、多項式 $4x^3 + 3x - 1$ を $2x + 1$ で割ったときの商...

多項式の割り算余り多項式
2025/7/22

この問題は、多項式の割り算と、与えられた多項式に特定の値を代入することに関する問題です。具体的には、 (1) $2x^2 + 7x + 9$ を $x+1$ で割る。 (2) $4x^3 + 3x -...

多項式割り算剰余の定理因数定理
2025/7/22

問題4は、2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha + \beta$ と $\alpha ...

二次方程式解と係数の関係式の計算
2025/7/22