与えられた行列のランクを求めます。行列は $ \begin{pmatrix} -1 & 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & -3 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -1 \end{pmatrix} $ です。

1. 問題の内容

与えられた行列のランクを求めます。行列は

$$

\begin{pmatrix}

-1 & 1 & -2 & 1 \\

-2 & 1 & -3 & 2 \\

1 & -1 & 2 & -1

\end{pmatrix}

$$

です。

2. 解き方の手順

行列のランクは、線形独立な行（または列）の最大数です。行列のランクを求めるには、行基本変形を用いて行列を簡約化し、0でない行の数を数えるのが一般的です。

まず、与えられた行列を以下のように書きます。

$$

A = \begin{pmatrix}

-1 & 1 & -2 & 1 \\

-2 & 1 & -3 & 2 \\

1 & -1 & 2 & -1

\end{pmatrix}

$$

1行目を-1倍します。

$$

\begin{pmatrix}

1 & -1 & 2 & -1 \\

-2 & 1 & -3 & 2 \\

1 & -1 & 2 & -1

\end{pmatrix}

$$

2行目に1行目の2倍を加えます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & -1 & 2 & -1 \\

0 & -1 & 1 & 0 \\

1 & -1 & 2 & -1

\end{pmatrix}

$$

3行目から1行目を引きます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & -1 & 2 & -1 \\

0 & -1 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

2行目を-1倍します。

$$

\begin{pmatrix}

1 & -1 & 2 & -1 \\

0 & 1 & -1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

1行目に2行目を加えます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 1 & -1 \\

0 & 1 & -1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

簡約化された行列には、0でない行が2つあります。したがって、行列のランクは2です。

3. 最終的な答え

2