放物線 $y=x^2-mx-m+8$ について、以下の問いに答えます。 (1) この放物線がx軸と異なる2点で交わるような定数 $m$ の値の範囲を求めます。 (2) この放物線がx軸の正の部分と異なる2点で交わるような定数 $m$ の値の範囲を求めます。 (3) この放物線がx軸の $-2 < x < 2$ の部分と1点のみで交わるような定数 $m$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y=x^2-mx-m+8$ について、以下の問いに答えます。

(1) この放物線がx軸と異なる2点で交わるような定数 $m$ の値の範囲を求めます。

(2) この放物線がx軸の正の部分と異なる2点で交わるような定数 $m$ の値の範囲を求めます。

(3) この放物線がx軸の $-2 < x < 2$ の部分と1点のみで交わるような定数 $m$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

放物線 $y=x^2-mx-m+8$ がx軸と異なる2点で交わるためには、判別式 $D > 0$ である必要があります。

$D = (-m)^2 - 4(1)(-m+8) = m^2 + 4m - 32 > 0$

$(m+8)(m-4) > 0$

よって、$m < -8$ または $m > 4$。

(2)

放物線 $y=x^2-mx-m+8$ がx軸の正の部分と異なる2点で交わるためには、

(i) 判別式 $D > 0$

(ii) 軸 $x = \frac{m}{2} > 0$

(iii) $f(0) > 0$ が必要です。

(i) より、$m < -8$ または $m > 4$。

(ii) より、$m > 0$。

(iii) より、$f(0) = -m+8 > 0$ より、$m < 8$。

これらを満たすのは、$4 < m < 8$。

(3)

放物線 $y=x^2-mx-m+8$ がx軸の $-2 < x < 2$ の部分と1点のみで交わるためには、

(i) $f(-2)f(2) < 0$

または

(ii) $f(-2) = 0$ または $f(2) = 0$ で、かつ軸が $-2 < x < 2$ の範囲にある場合

が必要です。

$f(x) = x^2-mx-m+8$

$f(-2) = (-2)^2 - m(-2) - m + 8 = 4 + 2m - m + 8 = m + 12$

$f(2) = (2)^2 - m(2) - m + 8 = 4 - 2m - m + 8 = -3m + 12$

(i) $(m+12)(-3m+12) < 0$

$-3(m+12)(m-4) < 0$

$(m+12)(m-4) > 0$

$m < -12$ または $m > 4$。

(ii) $f(-2) = 0$ のとき、$m = -12$ で、軸 $x = \frac{m}{2} = -6 < -2$ より不適。

$f(2) = 0$ のとき、$m = 4$ で、軸 $x = \frac{m}{2} = 2$ より不適。

したがって、$m < -12$ または $m > 4$。

3. 最終的な答え

(1) $m < -8$, $m > 4$

(2) $4 < m < 8$

(3) $m < -12$, $m > 4$