問題は次の2つの式を計算することです。 (1) $\sqrt{6 + \sqrt{20}} + \sqrt{6 - \sqrt{20}}$ (2) $|2\sqrt{3} - 3| + |3 - 2\sqrt{3}|$

1. 問題の内容

問題は次の2つの式を計算することです。

(1) $\sqrt{6 + \sqrt{20}} + \sqrt{6 - \sqrt{20}}$

(2) $|2\sqrt{3} - 3| + |3 - 2\sqrt{3}|$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{6 + \sqrt{20}} + \sqrt{6 - \sqrt{20}}$

まず、$\sqrt{20}$を簡単にします。$\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$

与えられた式は次のようになります。

$\sqrt{6 + 2\sqrt{5}} + \sqrt{6 - 2\sqrt{5}}$

$\sqrt{a} + \sqrt{b}$の形の二重根号を外すことを考えます。

$6 + 2\sqrt{5} = (5 + 1 + 2\sqrt{5 \times 1}) = (\sqrt{5} + \sqrt{1})^2 = (\sqrt{5} + 1)^2$

$6 - 2\sqrt{5} = (5 + 1 - 2\sqrt{5 \times 1}) = (\sqrt{5} - \sqrt{1})^2 = (\sqrt{5} - 1)^2$

したがって、

$\sqrt{6 + 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} + 1)^2} = \sqrt{5} + 1$

$\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = \sqrt{5} - 1$

よって、

$\sqrt{6 + \sqrt{20}} + \sqrt{6 - \sqrt{20}} = (\sqrt{5} + 1) + (\sqrt{5} - 1) = 2\sqrt{5}$

(2) $|2\sqrt{3} - 3| + |3 - 2\sqrt{3}|$

絶対値記号を外すために、$2\sqrt{3}$と3の大小関係を調べます。

$2\sqrt{3} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{12}$

$3 = \sqrt{9}$

$\sqrt{12} > \sqrt{9}$ より $2\sqrt{3} > 3$

したがって、$2\sqrt{3} - 3 > 0$ であり、$|2\sqrt{3} - 3| = 2\sqrt{3} - 3$

また、$3 - 2\sqrt{3} < 0$ であり、$|3 - 2\sqrt{3}| = -(3 - 2\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} - 3$

よって、

$|2\sqrt{3} - 3| + |3 - 2\sqrt{3}| = (2\sqrt{3} - 3) + (2\sqrt{3} - 3) = 4\sqrt{3} - 6$

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{5}$

(2) $4\sqrt{3} - 6$