与えられた行列のランクを求めます。与えられた行列は次の通りです。 $\begin{pmatrix} -2 & -2 & 1 & -1 \\ -2 & -1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列のランクを求めます。与えられた行列は次の通りです。

$\begin{pmatrix}

-2 & -2 & 1 & -1 \\

-2 & -1 & 2 & -1 \\

1 & 1 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列のランクは、線形独立な行（または列）の最大数です。行基本変形を用いて行列を簡約化し、階段行列の形にします。そして、0でない行の数を数えます。

与えられた行列を $A$ とします。

$A = \begin{pmatrix}

-2 & -2 & 1 & -1 \\

-2 & -1 & 2 & -1 \\

1 & 1 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

まず、3行目と1行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & 0 & 0 \\

-2 & -1 & 2 & -1 \\

-2 & -2 & 1 & -1

\end{pmatrix}$

次に、2行目に1行目の2倍を加えます。そして、3行目に1行目の2倍を加えます。

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 2 & -1 \\

0 & 0 & 1 & -1

\end{pmatrix}$

この行列は階段行列の形になっています。0でない行の数は3です。

3. 最終的な答え

3