与えられた行列のランクを求めます。行列は次の通りです。 $ \begin{pmatrix} -1 & 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & -3 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -1 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列のランクを求めます。行列は次の通りです。

$$

\begin{pmatrix}

-1 & 1 & -2 & 1 \\

-2 & 1 & -3 & 2 \\

1 & -1 & 2 & -1

\end{pmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列のランクは、線形独立な行（または列）の最大数です。ランクを求めるために、行列を簡約化します。

与えられた行列を$A$とします。

$A = \begin{pmatrix}

-1 & 1 & -2 & 1 \\

-2 & 1 & -3 & 2 \\

1 & -1 & 2 & -1

\end{pmatrix}$

1行目を-1倍します。

$$

\begin{pmatrix}

1 & -1 & 2 & -1 \\

-2 & 1 & -3 & 2 \\

1 & -1 & 2 & -1

\end{pmatrix}

$$

2行目に1行目の2倍を加えます。3行目から1行目を引きます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & -1 & 2 & -1 \\

0 & -1 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

2行目を-1倍します。

$$

\begin{pmatrix}

1 & -1 & 2 & -1 \\

0 & 1 & -1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

1行目に2行目を加えます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 1 & -1 \\

0 & 1 & -1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

簡約化された行列は、2つの線形独立な行を持ちます。したがって、行列のランクは2です。

3. 最終的な答え

2