$\frac{3}{2}\log_3 2 + \frac{1}{2}\log_3 \frac{1}{6} - \log_3 \frac{2\sqrt{3}}{3}$ を簡単にせよ。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

**40 (1)**

1. 問題の内容

$\frac{3}{2}\log_3 2 + \frac{1}{2}\log_3 \frac{1}{6} - \log_3 \frac{2\sqrt{3}}{3}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの項を整理します。

$\frac{3}{2}\log_3 2 = \log_3 2^{\frac{3}{2}} = \log_3 2\sqrt{2}$

$\frac{1}{2}\log_3 \frac{1}{6} = \log_3 (\frac{1}{6})^{\frac{1}{2}} = \log_3 \frac{1}{\sqrt{6}}$

$\log_3 \frac{2\sqrt{3}}{3} = \log_3 \frac{2}{\sqrt{3}}$

したがって、

$\frac{3}{2}\log_3 2 + \frac{1}{2}\log_3 \frac{1}{6} - \log_3 \frac{2\sqrt{3}}{3} = \log_3 2\sqrt{2} + \log_3 \frac{1}{\sqrt{6}} - \log_3 \frac{2}{\sqrt{3}}$

対数の性質 $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$ および $\log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y})$ を用いると、

$= \log_3 \left(2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} \div \frac{2}{\sqrt{3}}\right)$

$= \log_3 \left(2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$= \log_3 \left(\frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{6}}\right) = \log_3 1 = 0$

3. 最終的な答え

0

**40 (2)**

1. 問題の内容

$(\log_2 9 + \log_4 3)(\log_3 2 + \log_9 4)$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

$\log_2 9 = \log_2 3^2 = 2 \log_2 3$

$\log_4 3 = \frac{\log_2 3}{\log_2 4} = \frac{\log_2 3}{2} = \frac{1}{2} \log_2 3$

$\log_3 2$ はそのまま。

$\log_9 4 = \frac{\log_3 4}{\log_3 9} = \frac{\log_3 2^2}{2} = \frac{2 \log_3 2}{2} = \log_3 2$

与式は

$(2 \log_2 3 + \frac{1}{2} \log_2 3)(\log_3 2 + \log_3 2) = (\frac{5}{2} \log_2 3)(2 \log_3 2) = 5 \log_2 3 \log_3 2$

対数の底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ より $\log_2 3 = \frac{\log_3 3}{\log_3 2} = \frac{1}{\log_3 2}$

よって $5 \log_2 3 \log_3 2 = 5 \cdot \frac{1}{\log_3 2} \cdot \log_3 2 = 5$

3. 最終的な答え

5

**41 (1)**

1. 問題の内容

$\log_3 7$ と $\log_3 2$ の大小を不等号を用いて表せ。

2. 解き方の手順

底が3であり、3 > 1 なので、真数の大小関係と対数の大小関係は一致します。

7 > 2 なので、$\log_3 7 > \log_3 2$

3. 最終的な答え

$\log_3 7 > \log_3 2$

**41 (2)**

1. 問題の内容

$\log_{\frac{1}{2}} 5$ と $\log_{\frac{1}{2}} 3$ の大小を不等号を用いて表せ。

2. 解き方の手順

底が $\frac{1}{2}$ であり、$0 < \frac{1}{2} < 1$ なので、真数の大小関係と対数の大小関係は逆転します。

5 > 3 なので、$\log_{\frac{1}{2}} 5 < \log_{\frac{1}{2}} 3$

3. 最終的な答え

$\log_{\frac{1}{2}} 5 < \log_{\frac{1}{2}} 3$

**42 (1)**

1. 問題の内容

$1$, $\log_2 5$, $\log_4 3$ の大小を不等号を用いて表せ。

2. 解き方の手順

$1 = \log_2 2$

$\log_2 5 > \log_2 2 = 1$ なので、$\log_2 5 > 1$

$\log_4 3 = \frac{\log_2 3}{\log_2 4} = \frac{\log_2 3}{2}$. $1 < 3 < 4$ なので, $0 < \log_2 3 < 2$, よって $0 < \frac{\log_2 3}{2} < 1$.

$\log_4 3 < 1$. よって $\log_4 3 < 1 < \log_2 5$.

3. 最終的な答え

$\log_4 3 < 1 < \log_2 5$

**42 (2)**

1. 問題の内容

$\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2}$, $0$, $\frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 9$ の大小を不等号を用いて表せ。

2. 解き方の手順

$0 = \log_{\frac{1}{3}} 1$

$\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} > \log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$ （底が1より小さいので真数が小さいほど大きい）

$\frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 9 = \log_{\frac{1}{3}} 9^{\frac{1}{2}} = \log_{\frac{1}{3}} 3$.

$(\frac{1}{3})^{-1} = 3$ なので, $\log_{\frac{1}{3}} 3 = -1$.

$\log_{\frac{1}{3}} 3 = -1 < 0$

したがって $\log_{\frac{1}{3}} 3 < 0 < \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2}$.

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 9 < 0 < \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2}$