次の等式を証明せよ。 $(a^2 + 2b^2)(c^2 + 2d^2) = (ac + 2bd)^2 + 2(ad - bc)^2$

1. 問題の内容

次の等式を証明せよ。

$(a^2 + 2b^2)(c^2 + 2d^2) = (ac + 2bd)^2 + 2(ad - bc)^2$

2. 解き方の手順

まず、右辺を展開します。

$(ac + 2bd)^2 + 2(ad - bc)^2 = (a^2c^2 + 4acbd + 4b^2d^2) + 2(a^2d^2 - 2adbc + b^2c^2)$

$= a^2c^2 + 4acbd + 4b^2d^2 + 2a^2d^2 - 4adbc + 2b^2c^2$

$= a^2c^2 + 4b^2d^2 + 2a^2d^2 + 2b^2c^2$

次に、左辺を展開します。

$(a^2 + 2b^2)(c^2 + 2d^2) = a^2c^2 + 2a^2d^2 + 2b^2c^2 + 4b^2d^2$

右辺と左辺の展開結果が一致することを示します。

$a^2c^2 + 4b^2d^2 + 2a^2d^2 + 2b^2c^2 = a^2c^2 + 2a^2d^2 + 2b^2c^2 + 4b^2d^2$

3. 最終的な答え

$(a^2 + 2b^2)(c^2 + 2d^2) = (ac + 2bd)^2 + 2(ad - bc)^2$