与えられた行列 $ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} $ のランクを求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列

$$

\begin{pmatrix}

0 & 1 & 1 & -1 \\

0 & -1 & -1 & 1 \\

0 & 1 & 1 & -1

\end{pmatrix}

$$

のランクを求める問題です。

2. 解き方の手順

行列のランクは、行列の線形独立な行（または列）の最大数です。行基本変形を用いて、行列を階段行列に変形し、0でない行の数を数えることでランクを求めます。

与えられた行列をAとします。

$$

A = \begin{pmatrix}

0 & 1 & 1 & -1 \\

0 & -1 & -1 & 1 \\

0 & 1 & 1 & -1

\end{pmatrix}

$$

2行目を1行目に足します。

$$

\begin{pmatrix}

0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & -1 & -1 & 1 \\

0 & 1 & 1 & -1

\end{pmatrix}

$$

3行目を2行目に足します。

$$

\begin{pmatrix}

0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 1 & -1

\end{pmatrix}

$$

行を入れ替えて，

$$

\begin{pmatrix}

0 & 1 & 1 & -1 \\

0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

階段行列に変形した結果、0でない行は1行だけです。したがって、行列のランクは1です。

3. 最終的な答え

行列のランクは1です。