初項が-100、公差が5の等差数列$\{a_n\}$がある。この数列を、1個、2個、$2^2$個、$2^3$個、…の項よりなる群に分ける。 (1) 一般項$a_n$を求めよ。また、$m$番目の群の最初の項を$b_m$とおくとき、$b_8$を求めよ。 (2) $b_1 + b_2 + \cdots + b_8$を求めよ。

1. 問題の内容

初項が-100、公差が5の等差数列$\{a_n\}$がある。この数列を、1個、2個、$2^2$個、$2^3$個、…の項よりなる群に分ける。

(1) 一般項$a_n$を求めよ。また、$m$番目の群の最初の項を$b_m$とおくとき、$b_8$を求めよ。

(2) $b_1 + b_2 + \cdots + b_8$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 一般項$a_n$を求める。

等差数列の一般項の公式は、$a_n = a_1 + (n-1)d$である。

ここで、$a_1 = -100$、$d = 5$なので、

$a_n = -100 + (n-1)5 = -100 + 5n - 5 = 5n - 105$

$a_n = 5n - 105$

次に、$b_m$を求める。

$m$番目の群の最初の項は、数列$\{a_n\}$の何番目の項か考える。

第$m-1$群までの項数は、$1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{m-2} = \sum_{k=0}^{m-2} 2^k = \frac{1 - 2^{m-1}}{1-2} = 2^{m-1} - 1$

したがって、$m$番目の群の最初の項は、数列$\{a_n\}$の$(2^{m-1})$番目の項である。

よって、$b_m = a_{2^{m-1}} = 5 \cdot 2^{m-1} - 105$

$b_8 = 5 \cdot 2^{8-1} - 105 = 5 \cdot 2^7 - 105 = 5 \cdot 128 - 105 = 640 - 105 = 535$

(2) $b_1 + b_2 + \cdots + b_8$を求める。

$b_m = 5 \cdot 2^{m-1} - 105$なので、

$\sum_{m=1}^8 b_m = \sum_{m=1}^8 (5 \cdot 2^{m-1} - 105) = 5 \sum_{m=1}^8 2^{m-1} - \sum_{m=1}^8 105 = 5 \sum_{m=0}^7 2^m - 105 \cdot 8$

$= 5 \cdot \frac{1 - 2^8}{1-2} - 840 = 5(2^8 - 1) - 840 = 5(256 - 1) - 840 = 5 \cdot 255 - 840 = 1275 - 840 = 435$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 5n - 105$, $b_8 = 535$

(2) $b_1 + b_2 + \cdots + b_8 = 435$