(1) $2 + \sqrt{3}$ と $2 - \sqrt{3}$ を解とする二次方程式を求める。 (2) $\frac{1 + \sqrt{3}i}{2}$ と $\frac{1 - \sqrt{3}i}{2}$ を解とする二次方程式を求める。

1. 問題の内容

(1) $2 + \sqrt{3}$ と $2 - \sqrt{3}$ を解とする二次方程式を求める。

(2) $\frac{1 + \sqrt{3}i}{2}$ と $\frac{1 - \sqrt{3}i}{2}$ を解とする二次方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

解が $\alpha$ と $\beta$ である二次方程式は $(x - \alpha)(x - \beta) = 0$ と表せる。

今回の場合は $\alpha = 2 + \sqrt{3}$、$\beta = 2 - \sqrt{3}$ なので、$(x - (2 + \sqrt{3}))(x - (2 - \sqrt{3})) = 0$ となる。

これを展開して整理する。

$(x - (2 + \sqrt{3}))(x - (2 - \sqrt{3})) = (x - 2 - \sqrt{3})(x - 2 + \sqrt{3})$

$= ((x - 2) - \sqrt{3})((x - 2) + \sqrt{3})$

$= (x - 2)^2 - (\sqrt{3})^2$

$= x^2 - 4x + 4 - 3$

$= x^2 - 4x + 1$

よって、$x^2 - 4x + 1 = 0$

(2)

解が $\alpha$ と $\beta$ である二次方程式は $(x - \alpha)(x - \beta) = 0$ と表せる。

今回の場合は $\alpha = \frac{1 + \sqrt{3}i}{2}$、$\beta = \frac{1 - \sqrt{3}i}{2}$ なので、$(x - \frac{1 + \sqrt{3}i}{2})(x - \frac{1 - \sqrt{3}i}{2}) = 0$ となる。

これを展開して整理する。

$(x - \frac{1 + \sqrt{3}i}{2})(x - \frac{1 - \sqrt{3}i}{2}) = x^2 - (\frac{1 + \sqrt{3}i}{2} + \frac{1 - \sqrt{3}i}{2})x + \frac{1 + \sqrt{3}i}{2} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}i}{2}$

$= x^2 - (\frac{1 + \sqrt{3}i + 1 - \sqrt{3}i}{2})x + \frac{(1 + \sqrt{3}i)(1 - \sqrt{3}i)}{4}$

$= x^2 - \frac{2}{2}x + \frac{1 - (\sqrt{3}i)^2}{4}$

$= x^2 - x + \frac{1 - 3i^2}{4}$

$i^2 = -1$ なので、

$= x^2 - x + \frac{1 - 3(-1)}{4}$

$= x^2 - x + \frac{1 + 3}{4}$

$= x^2 - x + \frac{4}{4}$

$= x^2 - x + 1$

よって、$x^2 - x + 1 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 - 4x + 1 = 0$

(2) $x^2 - x + 1 = 0$