3点 $(1, -1, 2)$, $(-2, 1, 3)$, $(3, 1, 8)$ を通る平面の方程式を求めます。

1. 問題の内容

3点 $(1, -1, 2)$, $(-2, 1, 3)$, $(3, 1, 8)$ を通る平面の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

平面上の任意の点 $(x, y, z)$ に対して、3点 $(1, -1, 2)$, $(-2, 1, 3)$, $(3, 1, 8)$ を通る平面上のベクトルを考えます。ベクトル $\vec{v}$ と $\vec{w}$ はそれぞれ

$\vec{v} = (-2, 1, 3) - (1, -1, 2) = (-3, 2, 1)$

$\vec{w} = (3, 1, 8) - (1, -1, 2) = (2, 2, 6)$

です。

平面上の点 $(x, y, z)$ から点 $(1, -1, 2)$ へのベクトルは

$\vec{u} = (x, y, z) - (1, -1, 2) = (x-1, y+1, z-2)$

です。

ベクトル $\vec{u}$ は $\vec{v}$ と $\vec{w}$ で張られる平面上にあるので、$\vec{u}$、$\vec{v}$、$\vec{w}$ は線形従属であり、これらのベクトルで作られる行列の行列式は0になります。

$\begin{vmatrix}

x-1 & y+1 & z-2 \\

-3 & 2 & 1 \\

2 & 2 & 6

\end{vmatrix} = 0$

行列式を展開すると、

$(x-1)(2\cdot6 - 1\cdot2) - (y+1)(-3\cdot6 - 1\cdot2) + (z-2)(-3\cdot2 - 2\cdot2) = 0$

$(x-1)(12 - 2) - (y+1)(-18 - 2) + (z-2)(-6 - 4) = 0$

$10(x-1) + 20(y+1) - 10(z-2) = 0$

$10x - 10 + 20y + 20 - 10z + 20 = 0$

$10x + 20y - 10z + 30 = 0$

両辺を10で割ると、

$x + 2y - z + 3 = 0$

したがって、平面の方程式は $x + 2y - z + 3 = 0$ となります。

3. 最終的な答え

$x + 2y - z + 3 = 0$