図のように、辺AC上にAB=AHとなるように点Hをとる。AF=3cm、四角形ABCDの面積が56cm²であるとき、次の問いに答える。 (1) 線分AGの長さは何cmか。 (2) 線分BDの長さは何cmか。 (3) △AHGの面積は何cm²か。

1. 問題の内容

図のように、辺AC上にAB=AHとなるように点Hをとる。AF=3cm、四角形ABCDの面積が56cm²であるとき、次の問いに答える。

(1) 線分AGの長さは何cmか。

(2) 線分BDの長さは何cmか。

(3) △AHGの面積は何cm²か。

2. 解き方の手順

(1)

まず、AB=AHなので、△ABHは二等辺三角形である。図形から、相似な三角形を見つける。△AFEと△AGDが相似であることを利用する。

△AFE ∽ △AGD であるから、

$AF:AG = AE:AD$

ここで、四角形EFGHは正方形であることが見てわかる。なぜなら、∠AEF,∠EHG,∠HGA,∠GAFがすべて直角だからである。つまり、$AF:AG=AE:AD$とは、$AF:AG=EF:GD$でもある。

△AFEと△ABCは相似である。

△AGDと△AHCは相似である。

AB=AHであるから、△AFEと△AGDは合同である。

よって、AF=AGである。

AF=3cmより、AG=3cmである。

(2)

四角形ABCDの面積は56cm²である。△ABCと△ADCの面積の和が四角形ABCDの面積である。

△AFE, △AGD, △EHB, △GHCは合同である。

よって、四角形ABCDの面積は、正方形EFGHの面積+4\*△AFEの面積となる。

四角形ABCD = 正方形EFGH + 4\*△AFE

正方形EFGHの面積を$x^2$とする。△AFEの面積は$\frac{1}{2}*3*3 = \frac{9}{2}$である。

したがって、$56 = x^2 + 4*\frac{9}{2}$

$56 = x^2 + 18$

$x^2 = 38$

$x = \sqrt{38}$

BDは正方形の対角線なので、$BD = \sqrt{2}x = \sqrt{2*38} = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}$cm

(3)

△AHGの面積を求める。AG=3cm、AH=3cm, ∠GAH = 90°なので、

△AHG = $\frac{1}{2}*3*3 = \frac{9}{2} = 4.5$

3. 最終的な答え

(1) 線分AGの長さは3cm

(2) 線分BDの長さは$2\sqrt{19}$cm

(3) △AHGの面積は4.5cm²