半径1の円に内接する正八角形がある。 (1) 正八角形の面積を求める。 (2) 正八角形の一辺と円で囲まれた半月形の部分の面積を求める。

1. 問題の内容

半径1の円に内接する正八角形がある。

(1) 正八角形の面積を求める。

(2) 正八角形の一辺と円で囲まれた半月形の部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 正八角形の面積

正八角形は、中心角が$\frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$の8つの合同な二等辺三角形に分割できる。それぞれの二等辺三角形の面積は、$\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$である。したがって、正八角形の面積は、$8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} = 2\sqrt{2}$となる。

(2) 正八角形の一辺と円で囲まれた半月形の部分の面積

まず、正八角形の一辺の長さを求める。正八角形を分割した二等辺三角形において、余弦定理を用いると、一辺の長さ$a$は$a^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(\frac{\pi}{4}) = 2 - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 - \sqrt{2}$より、$a = \sqrt{2-\sqrt{2}}$となる。

次に、正八角形の一辺を弦とする弓形の面積を求める。中心角$\frac{\pi}{4}$に対応する扇形の面積は、$\frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8}$である。一方、二等辺三角形の面積は$\frac{\sqrt{2}}{4}$であるから、弓形の面積は$\frac{\pi}{8} - \frac{\sqrt{2}}{4}$となる。

3. 最終的な答え

(1) 正八角形の面積: $2\sqrt{2}$

(2) 正八角形の一辺と円で囲まれた半月形の部分の面積: $\frac{\pi}{8} - \frac{\sqrt{2}}{4}$