(1) 縦 $5x$ cm、横 $2x$ cm の長方形の紙が8枚ある。図のア、イのように並べた時、色のついた部分の面積はどちらが何 cm$^2$ 大きいか答える。 (2) 一辺 $a$ cm の正方形と半円を組み合わせた図において、色のついた部分の面積を $a$ を使った式で表す。円周率は $\pi$ とする。

1. 問題の内容

(1) 縦 $5x$ cm、横 $2x$ cm の長方形の紙が8枚ある。図のア、イのように並べた時、色のついた部分の面積はどちらが何 cm$^2$ 大きいか答える。

(2) 一辺 $a$ cm の正方形と半円を組み合わせた図において、色のついた部分の面積を $a$ を使った式で表す。円周率は $\pi$ とする。

2. 解き方の手順

(1)

アの場合、色のついた部分は長方形8枚を並べたものであり、その面積は、

$5x \times 2x \times 8 = 80x^2$ cm$^2$

イの場合、色のついた部分は正方形が8枚である。正方形の一辺の長さは、$2x$ cmなので、面積は

$(2x)^2 \times 8 = 4x^2 \times 8 = 32x^2$ cm$^2$

したがって、アの方がイよりも、

$80x^2 - 32x^2 = 48x^2$ cm$^2$

大きい。

(2)

色のついた部分は、正方形の1/4の扇形と、直角三角形の面積の合計である。

正方形の一辺は $a$ cm である。

扇形の面積は、

$\pi a^2 / 4 \times 1/4 = \frac{\pi a^2}{16}$ cm$^2$

直角三角形の面積は、

$a \times \frac{a}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{a^2}{4}$ cm$^2$

したがって、色のついた部分の面積は、

$\frac{\pi a^2}{16} + \frac{a^2}{4} = \frac{\pi a^2 + 4a^2}{16} = \frac{(\pi + 4)a^2}{16}$ cm$^2$

3. 最終的な答え

(1) ア が $48x^2$ cm$^2$ 大きい。

(2) $\frac{(\pi + 4)a^2}{16}$ cm$^2$