図のような直方体において、点Pは辺ABの中点であり、FP=5cmである。辺FG上に点Rをとり、線分ERとRQの長さの和ER+RQが最小となるとき、三角形EFRの面積と四角形FRQPの面積の和を求める。

1. 問題の内容

図のような直方体において、点Pは辺ABの中点であり、FP=5cmである。辺FG上に点Rをとり、線分ERとRQの長さの和ER+RQが最小となるとき、三角形EFRの面積と四角形FRQPの面積の和を求める。

2. 解き方の手順

ER+RQが最小となるのは、点E, R, Qが一直線上にあるときである。

点Eから線分ABを延長した線上に点E'をとり、AE'=AEとなるようにする。このとき、E'はEの線分ABに関する対称点となる。また、点Qから線分BCを延長した線上に点Q'をとり、CQ'=CQとなるようにする。このとき、Q'はQの線分BCに関する対称点となる。

点E'とQ'を結ぶ直線と線分FGとの交点が点Rとなる場合に、ER+RQが最小となる。

この直方体の辺の長さを考える。

AB=CD=EF=GH, AD=BC=FG=EH, AE=BF=CG=DH

PはABの中点であるから、AP=PB

FP=5cmであり、正方形の1辺の長さは5cmであることがわかる。

よって、AB=BC=AE=5cmとなる。

座標を設定して考える。

E(0,0,0), F(5,0,0), G(5,5,0), H(0,5,0), A(0,0,5), B(5,0,5), C(5,5,5), D(0,5,5)

P(2.5,0,5), Q(5,2.5,5)

点Eの点ABに関する対称点E'の座標は(2*2.5,0,5)=(5,0,5)なので、E'(5,0,5)である。

点Qの点FGに関する対称点Q'の座標は(5,5+2.5,0)=(5,7.5,0)ではない。

Eの線分ABに関する対称点E'は、Eを底面に平行移動させた点E'となる。

このとき、E'(0,0,10)となる。

ER+RQが最小となるのは、点E,R,Qが一直線上にあるときである。

E(0,0,0), Q(5,2.5,5)なので、直線EQの方程式は、

$x = \frac{5}{5} z = z$

$y = \frac{2.5}{5} z = \frac{1}{2} z$

RはFG上にあるので、R(x,y,0)となる。このとき、直線EQ上にあることから、

x = z, y = z/2 を満たす必要がある。また、RはFG上にあるので、x = 5である必要がある。

したがって、R(5,2.5,0)となる。

三角形EFRの面積は、底辺EF=5cm, 高さFR=2.5cmなので、

$\frac{1}{2} \times 5 \times 2.5 = 6.25$

四角形FRQPの面積は、長方形FBQPから三角形FBRを引いたものである。

長方形FBQPの面積は、FB=5, BP=2.5なので、5*2.5=12.5

三角形FBRの面積は、FB=5, BR=2.5なので、(1/2)*5*2.5=6.25

したがって、四角形FRQPの面積は、12.5-6.25=6.25

三角形EFRの面積と四角形FRQPの面積の和は、6.25+6.25=12.5

3. 最終的な答え

1

2. 5 cm²