円 $x^2 + y^2 = 1$ をある直線 $l$ に関して折り返すと、点 $(2, 0)$ で $x$ 軸に接する円になる。このとき、直線 $l$ の方程式を求める。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 1$ をある直線 $l$ に関して折り返すと、点 $(2, 0)$ で $x$ 軸に接する円になる。このとき、直線 $l$ の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、円 $x^2 + y^2 = 1$ の中心は $(0, 0)$ であり、半径は $1$ である。折り返した円の中心を $C$ とすると、$C$ は $x$ 軸上にあり、その座標は $(2-1, 0) = (1, 0)$ となる。

直線 $l$ は、元の円の中心 $(0, 0)$ と折り返した円の中心 $(1, 0)$ を結ぶ線分の垂直二等分線である。

2点 $(0, 0)$ と $(1, 0)$ を結ぶ線分の中点は $(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{1}{2}, 0)$ である。

2点 $(0, 0)$ と $(1, 0)$ を結ぶ線分の傾きは $\frac{0-0}{1-0} = 0$ である。

したがって、直線 $l$ は $x$ 軸に垂直な直線である。

中点 $(\frac{1}{2}, 0)$ を通り、$x$ 軸に垂直な直線の方程式は $x = \frac{1}{2}$ である。

3. 最終的な答え

$x = \frac{1}{2}$