3点 A(1, 3, -2), B(2, s, 1), C(t, 1, 4) が同一直線上にあるとき、実数 s, t の値を求めよ。

1. 問題の内容

3点 A(1, 3, -2), B(2, s, 1), C(t, 1, 4) が同一直線上にあるとき、実数 s, t の値を求めよ。

2. 解き方の手順

3点が同一直線上にあるということは、ベクトル$\vec{AB}$とベクトル$\vec{AC}$が平行であることを意味します。つまり、$\vec{AC}=k\vec{AB}$となる実数kが存在します。

まず、ベクトル$\vec{AB}$と$\vec{AC}$を求めます。

$\vec{AB} = (2-1, s-3, 1-(-2)) = (1, s-3, 3)$

$\vec{AC} = (t-1, 1-3, 4-(-2)) = (t-1, -2, 6)$

$\vec{AC} = k\vec{AB}$より、以下の式が成り立ちます。

$(t-1, -2, 6) = k(1, s-3, 3)$

これは、以下の3つの式に分解できます。

$t-1 = k$　　　　　(1)

$-2 = k(s-3)$ 　　　(2)

$6 = 3k$ 　　　　　(3)

(3)の式より、$k = 6/3 = 2$となります。

(1)の式にk=2を代入すると、$t-1 = 2$なので、$t = 3$となります。

(2)の式にk=2を代入すると、$-2 = 2(s-3)$なので、$-1 = s-3$となり、$s = 2$となります。

3. 最終的な答え

s = 2, t = 3