直方体があり、AB = 6cm, AD = 5cm, AE = 4cmである。問1: 直方体の表面積を求める。問2: 三角錐 AEFH の体積を求める。問3: 辺 AB 上を動く点を P とし、辺 CD 上に AD // PQ となる点 Q をとる。 (1) 三角柱 AEPDHQ の体積が、三角錐 BCFP の体積の9倍となるとき、線分 AP の長さを求める。 (2) 点Pを辺ABの中点とすると、FP=5cmである。また、辺FG上に点Rをとる。2つの線分ER、RQの長さの和ER+RQが最小となるとき、△EFRの面積と四角形FRQPの面積の和を求める。

幾何学立体図形直方体表面積体積三角錐空間図形平面図形

2025/7/22

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

直方体があり、AB = 6cm, AD = 5cm, AE = 4cmである。

問1: 直方体の表面積を求める。

問2: 三角錐 AEFH の体積を求める。

問3: 辺 AB 上を動く点を P とし、辺 CD 上に AD // PQ となる点 Q をとる。

(1) 三角柱 AEPDHQ の体積が、三角錐 BCFP の体積の9倍となるとき、線分 AP の長さを求める。

(2) 点Pを辺ABの中点とすると、FP=5cmである。また、辺FG上に点Rをとる。2つの線分ER、RQの長さの和ER+RQが最小となるとき、△EFRの面積と四角形FRQPの面積の和を求める。

2. 解き方の手順

問1：直方体の表面積

直方体の表面積は、各面の面積を足し合わせたものです。

各面の面積は、以下の通りです。

上面と底面:

6cm \times 5cm = 30cm^2

側面(手前と奥):

6cm \times 4cm = 24cm^2

側面(左右):

5cm \times 4cm = 20cm^2

したがって、表面積は

2 \times (30 + 24 + 20) = 2 \times 74 = 148cm^2

問2：三角錐 AEFH の体積

三角錐 AEFH の体積は、直方体の頂点 A, E, F, H を結んだものです。

これは、底面を三角形 AEF, 高さを AH とする三角錐と見なせます。

三角形 AEF の面積は、

\frac{1}{2} \times AE \times AF = \frac{1}{2} \times 4cm \times 6cm = 12cm^2

ただし、AFは間違っていて、AEFを底面とするなら底面積は

\frac{1}{2} \times AE \times AD= \frac{1}{2} \times 4cm \times 5cm = 10cm^2

となります。

高さをABとみなして

4cm \times 5cm \times 6cm \div 6 = 20 cm^3

となります。

よって、三角錐 AEFH の体積は

4cm \times 5cm \times 6cm /6 = 20cm^3

問3:

(1) AP の長さを x とすると、PB = 6 - x

三角柱 AEPDHQ の体積は

AEPD \times AE = x \times 5 \times 4 = 20x

三角錐 BCFP の体積は

\frac{1}{2} \times (6-x) \times 5 \times 4 = 10(6-x)

三角柱 AEPDHQ の体積が、三角錐 BCFP の体積の9倍なので

20x = 9(10(6-x))

20x = 90(6-x) \implies 20x=540-90x \implies 110x = 540

x = \frac{540}{110} = \frac{54}{11}

(2) 点 P は AB の中点なので、

AP = PB = 3cm

FP = 5cm

。点 R は FG 上にある。

ER + RQ が最小となるのは、E, R, Q が一直線上にあるとき。

E, R, Q が一直線上にあるとき、ER + RQ = EQ

点 Q の座標は、(3, 5, 4)。点 E の座標は (0, 0, 0)。

E を原点とした座標系で考える。

R は FG 上なので、(6, y, 4) と表せる。

直線 ER の式は y = (y/6)x であり、直線 RQ の式は ... (計算略)

最小となる R の座標を求めるのは困難なため、別の方法を検討する。

E から xy 平面に垂線を下ろし、その足E'とQからxy平面におろした垂線の足Q'を結び、さらにE'Q'を線分にすると、線分ER+RQの長さが最小になるのは、E,R,Qが一直線上に並ぶときである。この時ER+RQ=EQとなる。E(0,0,0)であり、Q(3,5,4)である。Rは辺FG上にあり、FGはxy平面上でy=5, z=4である。したがって、Rは(x,5,4)と表せる。

RをE'Q'上に置くと、その長さが最小になる。