図のように、直線BCとx軸の交点をDとする。線分OA上に点P(0, t)をとる。四角形APDCの面積が15となるとき、tの値を求めよ。ただし、$0 < t < 5$ とする。点Aの座標は(0, 5), 点Bの座標は(2, 9), 点Cの座標は(3, 6), 点Dの座標は(5, 0)である。

1. 問題の内容

図のように、直線BCとx軸の交点をDとする。線分OA上に点P(0, t)をとる。四角形APDCの面積が15となるとき、tの値を求めよ。ただし、$0 < t < 5$ とする。点Aの座標は(0, 5), 点Bの座標は(2, 9), 点Cの座標は(3, 6), 点Dの座標は(5, 0)である。

2. 解き方の手順

四角形APDCの面積を、三角形ADCの面積から三角形ADPの面積を引くことで求める。

まず、三角形ADCの面積を求める。点A(0, 5), D(5, 0), C(3, 6)である。

三角形の面積の公式を使うと、

$S = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$

$S_{ADC} = \frac{1}{2} |0(0 - 6) + 5(6 - 5) + 3(5 - 0)| = \frac{1}{2} |0 + 5 + 15| = \frac{1}{2} (20) = 10$

次に、三角形ADPの面積を求める。点A(0, 5), D(5, 0), P(0, t)である。

$S_{ADP} = \frac{1}{2} |0(0 - t) + 5(t - 5) + 0(5 - 0)| = \frac{1}{2} |0 + 5t - 25 + 0| = \frac{1}{2} |5t - 25|$

$S_{ADP} = \frac{1}{2} (25 - 5t)$ (∵ $0 < t < 5$なので $5t - 25 < 0$)

四角形APDCの面積は、

$S_{APDC} = S_{ADC} - S_{ADP} = 10 - \frac{1}{2}(25 - 5t) = 15$

$10 - \frac{25}{2} + \frac{5t}{2} = 15$

$\frac{5t}{2} = 15 - 10 + \frac{25}{2} = 5 + \frac{25}{2} = \frac{10}{2} + \frac{25}{2} = \frac{35}{2}$

$5t = 35$

$t = 7$

しかし、$0 < t < 5$であるため、上記の解は条件を満たさない。

四角形APDCの面積は、台形APCOの面積と三角形CDOの面積の和として求める。

点A(0, 5), P(0, t), C(3, 6), O(0, 0), D(5, 0)である。

台形APCOの面積は、$\frac{1}{2} (t + 5) \cdot 3 = \frac{3}{2}(t+5)$.

三角形CDOの面積は、$\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 = 15$.

四角形APDCの面積は、$\frac{3}{2}(t+5) + 15 - 15 = \frac{3}{2} (6) = 9$.

$\frac{3}{2} (t+5) = \frac{3t}{2} + \frac{15}{2}$

$10 - \frac{1}{2} (25 - 5t) = 15$ は間違っている。

点A(0, 5), P(0, t), D(5, 0), C(3, 6)

四角形APDC = 三角形ACD - 三角形APD = 15

$S_{APD} = \frac{1}{2} |(0(0-t) + 5(t-5) + 0(5-0))| = \frac{1}{2}|5t - 25| = \frac{25-5t}{2}$

$\frac{20}{2} - \frac{25 - 5t}{2} = 15$

$40 - 25 + 5t = 30$

$15 + 5t = 30$

$5t = 15$

$t = 3$

3. 最終的な答え

t = 3