大きさが異なる9個の玉があり、そのうち赤玉は4個、白玉は3個、青玉は2個である。この9個から4個の玉を選ぶとき、どの色の玉も含まれている場合の数を求める。

1. 問題の内容

大きさが異なる9個の玉があり、そのうち赤玉は4個、白玉は3個、青玉は2個である。この9個から4個の玉を選ぶとき、どの色の玉も含まれている場合の数を求める。

2. 解き方の手順

どの色の玉も含まれているということは、4個の玉が赤、白、青のそれぞれの色の玉を少なくとも1個ずつ含んでいるということである。

まず、全体の場合の数を求める。9個の玉から4個を選ぶ組み合わせの総数は、

$_{9}C_{4} = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$通り

次に、少なくとも1つの色が含まれていない場合を考える。

(i) 赤玉が含まれない場合: 白玉3個、青玉2個の計5個から4個を選ぶ。

$_{5}C_{4} = \frac{5!}{4!1!} = 5$通り

(ii) 白玉が含まれない場合: 赤玉4個、青玉2個の計6個から4個を選ぶ。

$_{6}C_{4} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通り

(iii) 青玉が含まれない場合: 赤玉4個、白玉3個の計7個から4個を選ぶ。

$_{7}C_{4} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$通り

次に、2つの色しか含まれていない場合を考える。

(i) 赤と白のみ: 赤玉4個、白玉3個から4個を選ぶ。

赤1白3, 赤2白2, 赤3白1, 赤4白0 の組み合わせがある。$_7C_4$の場合に含まれている。

可能な選び方は $_{4}C_{1} \times _{3}C_{3} + _{4}C_{2} \times _{3}C_{2} + _{4}C_{3} \times _{3}C_{1} + _{4}C_{4} \times _{3}C_{0}$ = 4 + 6x3 + 4x3 + 1 = 4 + 18 + 12 + 1 = 35通りの内,

4個選ぶとき、赤と白のみであるのは、赤玉の数をr, 白玉の数をwとしたとき、

r + w = 4, 1 <= r <= 4, 1 <= w <=3を満たす組み合わせである。

(r, w) = (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4,0)のいずれかの場合

(i) 赤と白だけ: $_{4}C_{1} \times _{3}C_{3} + _{4}C_{2} \times _{3}C_{2} + _{4}C_{3} \times _{3}C_{1} = 4 \times 1 + 6 \times 3 + 4 \times 3 = 4 + 18 + 12 = 34$

(ii) 赤と青だけ: $_{4}C_{2} \times _{2}C_{2} + _{4}C_{3} \times _{2}C_{1} = 6 \times 1 + 4 \times 2 = 6 + 8 = 14$

(iii) 白と青だけ: $_{3}C_{2} \times _{2}C_{2} + _{3}C_{3} \times _{2}C_{1} = 3 \times 1 + 1 \times 2 = 3 + 2 = 5$

3種類の場合は、126 - (5 + 15 + 35) + (34 - 2, 14 - 0, 5 - 2) = 126 - 55 + 34 + 14 + 5

赤、白、青のすべてが含まれない場合はない。

しかし、2つの色しか含まれない場合を二重に引いてしまっているので、それを足し戻す必要がある。

2つの色だけの場合:

- 赤と白: 34通り

- 赤と青: 14通り

- 白と青: 5通り

合計: 34+14+5 = 53通り

すべての組み合わせから、1色のみの場合と、2色のみの場合を引く。

求める組み合わせ数 = 126 - (5+15+35) + 53 = 126 - 55 = 71

少なくとも1つずつ含まれるのは、

$126 - (5+15+35)+(0+0+0)=126 - 55 + 0 = 71$

126-35-15-5 = 71

求める場合の数は71通りである。

4個の中から、赤、白、青をそれぞれ1個ずつ選び、残りの1個を9個の中から選ぶ。

$_{4}C_{1} \times _{3}C_{1} \times _{2}C_{1} \times _{6}C_{1} = 4 \times 3 \times 2 \times 6 = 144$ 通り

しかし、これは誤り。

残りの1個をどの色の玉を選んだかで場合分けする。

1. 赤玉の場合: $4-1 = 3$個から1個選ぶ。$_{3}C_{1}=3$

2. 白玉の場合: $3-1=2$個から1個選ぶ。$_{2}C_{1}=2$

3. 青玉の場合: $2-1=1$個から1個選ぶ。$_{1}C_{1}=1$

$(4 \times 3 \times 2 \times 3) + (4 \times 3 \times 2 \times 2) + (4 \times 3 \times 2 \times 1) = 72 + 48 + 24 = 144$

求める組み合わせ数は、126-(5+15+35)+x である。

126-(5+15+35) + 144 = 175

4個の玉の組み合わせは、

赤白青X (Xは赤、白、青のどれか)

(1) 赤2,白1,青1: 4C2 x 3C1 x 2C1 = 6 x 3 x 2 = 36

(2) 赤1,白2,青1: 4C1 x 3C2 x 2C1 = 4 x 3 x 2 = 24

(3) 赤1,白1,青2: 4C1 x 3C1 x 2C2 = 4 x 3 x 1 = 12

合計 = 36 + 24 + 12 = 72

3. 最終的な答え

72