3個のサイコロを同時に投げます。出た目の最大値を $X$、最小値を $Y$ とし、$X - Y = Z$ とします。 (1) $Z = 4$ となる確率を求めます。 (2) $Z = 4$ という条件のもとで、$X = 5$ となる条件付き確率を求めます。

1. 問題の内容

3個のサイコロを同時に投げます。出た目の最大値を $X$、最小値を $Y$ とし、$X - Y = Z$ とします。

(1) $Z = 4$ となる確率を求めます。

(2) $Z = 4$ という条件のもとで、$X = 5$ となる条件付き確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $Z=4$ となる確率を求める

まず、全事象は $6^3 = 216$ 通りです。

$X - Y = 4$ となるのは、$(X, Y) = (5, 1), (6, 2)$ の場合です。

(i) $(X, Y) = (5, 1)$ のとき

3つのサイコロの目が全て1以上5以下で、少なくとも1つは5、少なくとも1つは1である必要があります。

全体から、すべて1より大きい場合と、すべて5より小さい場合を引きます。

3つのサイコロの目がすべて1以上5以下となる場合は、5の3乗で $5^3 = 125$通り。

3つのサイコロの目がすべて2以上5以下となる場合は、$4^3 = 64$通り。

3つのサイコロの目がすべて1以上4以下となる場合は、$4^3 = 64$通り。

3つのサイコロの目がすべて2以上4以下となる場合は、$3^3 = 27$通り。

よって、少なくとも1つは5、少なくとも1つは1である場合の数は、

$5^3 - 4^3 - 4^3 + 3^3 = 125 - 64 - 64 + 27 = 24$通り。

(ii) $(X, Y) = (6, 2)$ のとき

3つのサイコロの目がすべて2以上6以下で、少なくとも1つは6、少なくとも1つは2である必要があります。

全体から、すべて2より大きい場合と、すべて6より小さい場合を引きます。

3つのサイコロの目がすべて2以上6以下となる場合は、5の3乗で $5^3 = 125$通り。

3つのサイコロの目がすべて3以上6以下となる場合は、$4^3 = 64$通り。

3つのサイコロの目がすべて2以上5以下となる場合は、$4^3 = 64$通り。

3つのサイコロの目がすべて3以上5以下となる場合は、$3^3 = 27$通り。

よって、少なくとも1つは6、少なくとも1つは2である場合の数は、

$5^3 - 4^3 - 4^3 + 3^3 = 125 - 64 - 64 + 27 = 24$通り。

$Z=4$ となる場合の数は、$24 + 24 = 48$通り。

したがって、$Z = 4$ となる確率は $\frac{48}{216} = \frac{2}{9}$。

(2) $Z = 4$ という条件のもとで、$X = 5$ となる条件付き確率を求める

$Z = 4$ かつ $X = 5$ となるのは、(1) の(i)のケースです。

$Z = 4$ かつ $X = 5$ となる場合の数は 24通り。

$Z = 4$ となる場合の数は 48通り。

したがって、$Z = 4$ という条件のもとで、$X = 5$ となる条件付き確率は $\frac{24}{48} = \frac{1}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) $Z = 4$ となる確率: $\frac{2}{9}$

(2) $Z = 4$ という条件のもとで、$X = 5$ となる条件付き確率: $\frac{1}{2}$