1から13までの数字の中から重複せずに4つの数字を選ぶとき、以下の確率を求めます。 (1) 選んだ数字の最大値が10以下、かつ最小値が4以上である確率。 (2) 選んだ数字の最大値が10より大きい確率。 (3) 選んだ数字の最大値が10より大きく、かつ最小値が4より小さい確率。

1. 問題の内容

1から13までの数字の中から重複せずに4つの数字を選ぶとき、以下の確率を求めます。

(1) 選んだ数字の最大値が10以下、かつ最小値が4以上である確率。

(2) 選んだ数字の最大値が10より大きい確率。

(3) 選んだ数字の最大値が10より大きく、かつ最小値が4より小さい確率。

2. 解き方の手順

まず、1から13までの数字から4つの数字を選ぶ場合の総数を計算します。これは組み合わせの問題なので、$_{13}C_4$で求められます。

$_{13}C_4 = \frac{13!}{4!(13-4)!} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 715$

(1) 最大値が10以下、最小値が4以上である選び方を考えます。

この条件を満たすためには、4以上10以下の数字(4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)の中から4つの数字を選ぶ必要があります。

この場合の数は、$_{7}C_4$で求められます。

$_{7}C_4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

したがって、確率$P_1$は、

$P_1 = \frac{_{7}C_4}{_{13}C_4} = \frac{35}{715} = \frac{7}{143}$

(2) 最大値が10より大きい選び方を考えます。つまり、最大値は11, 12, 13のいずれかです。

この場合を直接計算するよりも、余事象を考える方が簡単です。

余事象は、最大値が10以下の場合です。

最大値が10以下の選び方は、1から10までの数字から4つを選ぶ場合の数で、$_{10}C_4$で求められます。

$_{10}C_4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$

したがって、最大値が10以下である確率は、$\frac{210}{715} = \frac{42}{143}$

最大値が10より大きい確率は、

$P_2 = 1 - \frac{210}{715} = 1 - \frac{42}{143} = \frac{101}{143}$

(3) 最大値が10より大きく、最小値が4より小さい選び方を考えます。

最大値が10より大きいので、最大値は11, 12, 13のいずれかです。

最小値が4より小さいので、最小値は1, 2, 3のいずれかです。

まず、1,2,3の中から1つ、11,12,13の中から1つ選びます。

次に、残りの2つを4から10までの7個の数字の中から選びます。

最小の数が1つ、最大の数が1つ決まっているので、残りの2つの数字は残りの11個の数字から選びます。

この場合、直接計算するより包除原理を使ったほうが楽です。

最大が11,12,13で最小が1,2,3である確率を計算します。

これは、全体 - (最大値が10以下である場合 + 最小値が4以上である場合 - 最大値が10以下かつ最小値が4以上である場合) です。

最大値が10より大きい確率は (2) で計算しました。$\frac{101}{143}$

最小値が4より小さい確率は、$1 - \frac{_{10}C_4}{_{13}C_4} = 1 - \frac{_{10}C_4}{715}$ で計算できます。

$_{10}C_4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$

$1-\frac{_{10}C_4}{_{13}C_4} = 1 - \frac{210}{715}= 1-\frac{42}{143}= \frac{101}{143}$

最小値が4以上の確率は、1から13の中から、4以上の数字から4つ選ぶ確率を引いたものと考えられます。4以上の数字は10個（4から13）。従って$_{10}C_4 = 210$となります。

最小値が4より小さいということは、1,2,3のうち少なくとも一つが含まれることです。

最小値が4より小さく、最大値が10より大きい確率を計算します。

1,2,3のうちどれか1つを含み、11,12,13のうちどれか1つを含む4つを選びます。

両方を含む選び方は 3 * 3 * (11-2)C2 = 9 * 9C2 = 9 * 36 = 324 通り

324/715

$P_3 = \frac{324}{715}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{7}{143}$

(2) $\frac{101}{143}$

(3) $\frac{324}{715}$