図のように、東西に走る道が4本、南北に走る道が4本ある。A地点からB地点に行く最短経路の数と、A地点からC地点とD地点の両方を通ってB地点に行く最短経路の数を求める問題です。

1. 問題の内容

図のように、東西に走る道が4本、南北に走る道が4本ある。A地点からB地点に行く最短経路の数と、A地点からC地点とD地点の両方を通ってB地点に行く最短経路の数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) A地点からB地点への最短経路の数を求める。

AからBへ行くには、右に3回、上に3回移動する必要があります。

したがって、最短経路の数は、6回の移動のうち、右への移動3回を選ぶ組み合わせの数に等しくなります。

これは、二項係数で表され、$_6C_3$ で計算できます。

$_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

(2) A地点からC地点とD地点の両方を通ってB地点へ行く最短経路の数を求める。

まず、AからCへの最短経路を考えます。AからCへは、右に1回、上に1回移動する必要があります。

その最短経路の数は、$_2C_1 = \frac{2!}{1!1!} = 2$ です。

次に、CからDへの最短経路を考えます。CからDへは、右に1回移動する必要があります。

その最短経路の数は、$_1C_1 = 1$ です。

次に、DからBへの最短経路を考えます。DからBへは、右に1回、上に2回移動する必要があります。

その最短経路の数は、$_3C_1 = \frac{3!}{1!2!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{1 \times 2 \times 1} = 3$ です。

したがって、AからC、CからD、DからBへ行く最短経路の数は、それぞれの経路数の積で計算できます。

$2 \times 1 \times 3 = 6$

3. 最終的な答え

A地点からB地点に行く最短経路は20通り。

A地点からC地点とD地点の両方を通ってB地点に行く最短経路は6通り。