Aの袋には黒玉3個と白玉2個、Bの袋には黒玉2個と白玉3個が入っている。AとBがそれぞれ自分の袋から同時に2個ずつ玉を取り出す。2人が取り出した黒玉の個数の合計が偶数ならばAの勝ち、奇数ならばAの負けである。Aが勝つ確率を求める。ただし、0は偶数とする。

1. 問題の内容

Aの袋には黒玉3個と白玉2個、Bの袋には黒玉2個と白玉3個が入っている。AとBがそれぞれ自分の袋から同時に2個ずつ玉を取り出す。2人が取り出した黒玉の個数の合計が偶数ならばAの勝ち、奇数ならばAの負けである。Aが勝つ確率を求める。ただし、0は偶数とする。

2. 解き方の手順

Aが勝つのは、AとBが取り出した黒玉の個数の合計が偶数の場合である。これは、次の2つの場合に分けられる。

(1) AとBが取り出した黒玉の個数がともに偶数である場合

(2) AとBが取り出した黒玉の個数がともに奇数である場合

それぞれの確率を計算する。

(1) Aが取り出した黒玉の個数が偶数である確率を求める。Aの袋には黒玉3個、白玉2個が入っているので、2個取り出すとき、黒玉が0個または2個となる場合が該当する。

- 黒玉0個の場合：白玉2個を取り出す確率 $\frac{{}_2C_2}{{}_5C_2} = \frac{1}{10}$

- 黒玉2個の場合：黒玉2個を取り出す確率 $\frac{{}_3C_2}{{}_5C_2} = \frac{3}{10}$

Aが取り出した黒玉の個数が偶数である確率は $\frac{1}{10} + \frac{3}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Bが取り出した黒玉の個数が偶数である確率を求める。Bの袋には黒玉2個、白玉3個が入っているので、2個取り出すとき、黒玉が0個または2個となる場合が該当する。

- 黒玉0個の場合：白玉2個を取り出す確率 $\frac{{}_3C_2}{{}_5C_2} = \frac{3}{10}$

- 黒玉2個の場合：黒玉2個を取り出す確率 $\frac{{}_2C_2}{{}_5C_2} = \frac{1}{10}$

Bが取り出した黒玉の個数が偶数である確率は $\frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

AとBが取り出した黒玉の個数がともに偶数である確率は $\frac{2}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{25}$

(2) Aが取り出した黒玉の個数が奇数である確率を求める。これは、Aが取り出した黒玉の個数が1個である場合に対応する。

Aが取り出した黒玉の個数が1個である確率 $\frac{{}_3C_1 \times {}_2C_1}{{}_5C_2} = \frac{3 \times 2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Bが取り出した黒玉の個数が奇数である確率を求める。これは、Bが取り出した黒玉の個数が1個である場合に対応する。

Bが取り出した黒玉の個数が1個である確率 $\frac{{}_2C_1 \times {}_3C_1}{{}_5C_2} = \frac{2 \times 3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

AとBが取り出した黒玉の個数がともに奇数である確率は $\frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25}$

したがって、Aが勝つ確率は $\frac{4}{25} + \frac{9}{25} = \frac{13}{25}$

3. 最終的な答え

Aが勝つ確率は $\frac{13}{25}$ である。