AとBが連続して試合を行い、先に4勝した方を優勝とする。1回の試合でAが勝つ確率は $\frac{2}{3}$ であり、引き分けはないものとする。 ちょうど5試合目でAが優勝する確率を $\frac{\text{アイ}}{3^5}$ と表し、ちょうど7試合目で優勝が決まる確率を $\frac{\text{ウエオ}}{3^6}$ と表すとき、空欄を埋めよ。

1. 問題の内容

AとBが連続して試合を行い、先に4勝した方を優勝とする。1回の試合でAが勝つ確率は $\frac{2}{3}$ であり、引き分けはないものとする。

ちょうど5試合目でAが優勝する確率を $\frac{\text{アイ}}{3^5}$ と表し、ちょうど7試合目で優勝が決まる確率を $\frac{\text{ウエオ}}{3^6}$ と表すとき、空欄を埋めよ。

2. 解き方の手順

(1) ちょうど5試合目でAが優勝する場合

Aが5試合目で優勝するためには、5試合目にAが勝ち、それまでの4試合でAが3勝し、Bが1勝する必要があります。4試合でAが3勝1敗となる確率は、反復試行の確率の公式より、

${}_4 \mathrm{C}_3 \left( \frac{2}{3} \right)^3 \left( \frac{1}{3} \right)^1 = 4 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{3} = \frac{32}{81}$

したがって、5試合目でAが優勝する確率は、

$\frac{32}{81} \times \frac{2}{3} = \frac{64}{243} = \frac{64}{3^5}$

よって、アイ = 64 となります。

(2) ちょうど7試合目で優勝が決まる場合

7試合目で優勝が決まるのは、Aが優勝する場合とBが優勝する場合の2通りがあります。

(a) Aが7試合目で優勝する場合

7試合目にAが勝ち、それまでの6試合でAが3勝し、Bが3勝する必要があります。6試合でAが3勝3敗となる確率は、反復試行の確率の公式より、

${}_6 \mathrm{C}_3 \left( \frac{2}{3} \right)^3 \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{6!}{3!3!} \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{27} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{27} = 20 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{27} = \frac{160}{729}$

したがって、7試合目でAが優勝する確率は、

$\frac{160}{729} \times \frac{2}{3} = \frac{320}{2187} = \frac{320}{3^7}$

(b) Bが7試合目で優勝する場合

7試合目にBが勝ち、それまでの6試合でAが3勝し、Bが3勝する必要があります。6試合でAが3勝3敗となる確率は、(a) と同じで $\frac{160}{729}$ です。

したがって、7試合目でBが優勝する確率は、Bが勝つ確率は $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ なので、

$\frac{160}{729} \times \frac{1}{3} = \frac{160}{2187} = \frac{160}{3^7}$

よって、7試合目で優勝が決まる確率は、

$\frac{320}{2187} + \frac{160}{2187} = \frac{480}{2187} = \frac{160}{729} = \frac{480}{3^7} = \frac{160}{3^6 \times 3}$

$\frac{480}{3^7} = \frac{160}{729}$

7試合目で優勝が決まる確率は、

$\frac{320}{3^7} + \frac{160}{3^7} = \frac{480}{3^7} = \frac{480}{3^6 \times 3} = \frac{160}{3^6 \times 1}$

7試合目で優勝が決まる確率 $\frac{\text{ウエオ}}{3^6}$ と表記されているので、$\frac{\text{ウエオ}}{3^6} = \frac{3\times 160}{3^7}= \frac{160}{729}\times 3=\frac{480}{3^7}$

$\text{ウエオ} = {}_{6} \mathrm{C}_{3} (\frac{2}{3})^3(\frac{1}{3})^3*\frac{2}{3} + {}_{6} \mathrm{C}_{3} (\frac{2}{3})^3(\frac{1}{3})^3*\frac{1}{3} = 20*(\frac{2}{3})^3 (\frac{1}{3})^3 (\frac{2}{3} + \frac{1}{3}) = 20 * 8/27 * 1/27 = {}_{6} \mathrm{C}_{3}(\frac{2}{3})^3 (\frac{1}{3})^3 = 480/(3^7)=160*3 / (3^7)$.

$\frac{\text{ウエオ}}{3^6} = \frac{480}{3^7}$, so ウエオ =

4

8

0.

3. 最終的な答え

アイ = 64

ウエオ = 480