半径6cmの円Oと半径2cmの円O'がある。円Oの周上を、円O'が滑らないように1回転した。 (1) 扇形OABの面積を求める。 (2) 円O'が移動した部分の面積を求める。 (3) 立方体から三角柱を切り取った立体の投影図として、あり得ないものを選択する。

1. 問題の内容

半径6cmの円Oと半径2cmの円O'がある。円Oの周上を、円O'が滑らないように1回転した。

(1) 扇形OABの面積を求める。

(2) 円O'が移動した部分の面積を求める。

(3) 立方体から三角柱を切り取った立体の投影図として、あり得ないものを選択する。

2. 解き方の手順

(1) 円O'が円Oの周りを1回転するとき、円O'の中心は円Oの周りに沿って移動する。円Oの半径は6cm、円O'の半径は2cmなので、円O'の中心が描く円の半径は6cmである。

円O'が1回転するとき、円O'の中心が移動する距離は、円Oの円周に等しい。すなわち、$2 \pi \times 6 = 12\pi$ cmである。

円O'の円周は、$2 \pi \times 2 = 4\pi$ cmである。

円O'が1回転すると、その中心は円Oの円周に沿って移動し、点Bで1回転したことから、弧ABの長さは、円O'の円周に等しい。よって、弧ABの長さは $4\pi$ cmである。

扇形OABの中心角を $\theta$ (ラジアン)とすると、弧ABの長さは $6\theta$ であるから、$6\theta = 4\pi$ より、$\theta = \frac{2\pi}{3}$ である。これは120度に対応する。

したがって、扇形OABの面積は、$\pi \times 6^2 \times \frac{120}{360} = 36\pi \times \frac{1}{3} = 12\pi$ cm$^2$である。

(2) 円O'が移動した部分は、円O'が通過した領域の面積を求めることになる。

円O'の中心が描く円の半径は6cmである。円O'の半径は2cmであるから、円O'が通過する部分は、円O'の中心が描く円の周りに幅2cmの帯状の領域となる。また、円O'が回転するときに円O'自身が描く面積を考慮する必要がある。

円O'の中心が移動する経路に沿って考えれば、長方形が2つと、半径2cmの円が2つできることがわかる。長方形の面積は、$4\pi \times 2 = 8\pi$ である。よって2つの長方形の面積は $16 \pi$ である。半径2cmの円の面積は $4\pi$ である。2つの円の面積は $8\pi$ である。

したがって、円O'が移動した部分の面積は、 $16\pi + 8\pi = 24\pi$ cm$^2$である。

(3) 問題の図が示されていないため、解答できません。

3. 最終的な答え

(1) $12\pi$

(2) $24\pi$

(3) 解答不能