与えられた式 $x^6 - y^6$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^6 - y^6$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^6 - y^6$ を $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ の形に因数分解します。

$x^6 = (x^3)^2$、 $y^6 = (y^3)^2$ と考えることができるので、

$x^6 - y^6 = (x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3 + y^3)(x^3 - y^3)$

となります。

次に、$x^3 + y^3$と $x^3 - y^3$ をそれぞれ因数分解します。

$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$

$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$

したがって、

$x^6 - y^6 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)(x - y)(x^2 + xy + y^2)$

となります。

通常、$x^6 - y^6$の因数分解を要求された場合は、以下の形にすることが一般的です。

$x^6 - y^6 = (x^2)^3 - (y^2)^3$とみなし、

$x^6 - y^6 = (x^2 - y^2)((x^2)^2 + x^2y^2 + (y^2)^2)$

$x^6 - y^6 = (x - y)(x + y)(x^4 + x^2y^2 + y^4)$

$x^4 + x^2y^2 + y^4$ の部分は、

$x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - (xy)^2 = (x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)$

したがって、

$x^6 - y^6 = (x - y)(x + y)(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)$

最終的な答えとして、順番を入れ替えて

$x^6 - y^6 = (x - y)(x + y)(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)$ とします。

3. 最終的な答え

$(x - y)(x + y)(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)$