数列 $\{a_n\}$ について、$n \geq 2$ のとき、不等式 $0 \leq |a_n - 2| < \frac{1}{3} |a_{n-1} - 2| < \dots < (\frac{1}{3})^I |a_1 - 2|$ が成り立つとき、$I$ に当てはまる式を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ について、$n \geq 2$ のとき、不等式 $0 \leq |a_n - 2| < \frac{1}{3} |a_{n-1} - 2| < \dots < (\frac{1}{3})^I |a_1 - 2|$ が成り立つとき、$I$ に当てはまる式を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた不等式を繰り返し適用することを考えます。

$|a_n - 2| < \frac{1}{3} |a_{n-1} - 2|$ という関係を繰り返し使うことで、

$|a_n - 2|$ を $|a_1 - 2|$ で表すことを目指します。

$|a_n - 2| < \frac{1}{3} |a_{n-1} - 2|$

$|a_{n-1} - 2| < \frac{1}{3} |a_{n-2} - 2|$

...

$|a_2 - 2| < \frac{1}{3} |a_1 - 2|$

これらの不等式を組み合わせます。

$|a_n - 2| < \frac{1}{3} |a_{n-1} - 2| < \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} |a_{n-2} - 2| = (\frac{1}{3})^2 |a_{n-2} - 2|$

同様に繰り返すと、

$|a_n - 2| < (\frac{1}{3})^{n-1} |a_1 - 2|$

が得られます。

したがって、$I = n-1$ となります。

3. 最終的な答え

$n-1$