$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{2} \quad (-\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{4})$ のとき、$\sin\theta\cos\theta$ と $\sin^3\theta - \cos^3\theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{2} \quad (-\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{4})$ のとき、$\sin\theta\cos\theta$ と $\sin^3\theta - \cos^3\theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sin\theta\cos\theta$ の値を求めます。

$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{2}$ の両辺を2乗すると、

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = (\frac{1}{2})^2$

$\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = \frac{1}{4}$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、

$1 + 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{4}$

$2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{3}{8}$

次に、$\sin^3\theta - \cos^3\theta$ の値を求めます。

$\sin^3\theta - \cos^3\theta = (\sin\theta - \cos\theta)(\sin^2\theta + \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta)$

$\sin^3\theta - \cos^3\theta = (\sin\theta - \cos\theta)(1 + \sin\theta\cos\theta)$

$(\sin\theta - \cos\theta)^2 = \sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 - 2\sin\theta\cos\theta$

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{3}{8}$ を代入すると、

$(\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2(-\frac{3}{8}) = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$

$-\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{4}$ より、 $\cos\theta \ge \sin\theta$ なので、 $\sin\theta - \cos\theta \le 0$。

よって、$\sin\theta - \cos\theta = -\frac{\sqrt{7}}{2}$

$\sin^3\theta - \cos^3\theta = (-\frac{\sqrt{7}}{2})(1 - \frac{3}{8}) = (-\frac{\sqrt{7}}{2})(\frac{5}{8}) = -\frac{5\sqrt{7}}{16}$

3. 最終的な答え

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{3}{8}$

$\sin^3\theta - \cos^3\theta = -\frac{5\sqrt{7}}{16}$