SENSEI AI
About App

$y = -x^3 + x^2$ で表される曲線 $C$ と $y = a$ で表される直線 $l$ があり、$C$ と $l$ は共有点をちょうど 2 つ持つ。このとき、以下の問いに答える。 (1) $a$ の値を求める。 (2) $C$ と $l$ の共有点の $x$ 座標をすべて求める。 (3) $C$ と $l$ で囲まれた図形の面積を求める。

解析学微分積分3次関数面積
2025/7/10

1. 問題の内容

y=−x3+x2y = -x^3 + x^2 で表される曲線 CC と y=ay = a で表される直線 ll があり、CC と ll は共有点をちょうど 2 つ持つ。このとき、以下の問いに答える。
(1) aa の値を求める。
(2) CC と ll の共有点の xx 座標をすべて求める。
(3) CC と ll で囲まれた図形の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) y=−x3+x2y = -x^3 + x^2 と y=ay = a が共有点を 2 つ持つ条件を求める。
−x3+x2=a-x^3 + x^2 = a
−x3+x2−a=0-x^3 + x^2 - a = 0
この 3 次方程式が重解を持つ条件を考える。
f(x)=−x3+x2f(x) = -x^3 + x^2 とすると、f′(x)=−3x2+2x=x(−3x+2)f'(x) = -3x^2 + 2x = x(-3x + 2)
f′(x)=0f'(x) = 0 となるのは x=0,23x = 0, \frac{2}{3}
x=0x = 0 のとき f(0)=0f(0) = 0
x=23x = \frac{2}{3} のとき f(23)=−(23)3+(23)2=−827+49=−827+1227=427f(\frac{2}{3}) = -(\frac{2}{3})^3 + (\frac{2}{3})^2 = -\frac{8}{27} + \frac{4}{9} = -\frac{8}{27} + \frac{12}{27} = \frac{4}{27}
aa は 0 でない実数であるから、a=427a = \frac{4}{27}
(2) y=−x3+x2y = -x^3 + x^2 と y=427y = \frac{4}{27} の共有点を求める。
−x3+x2=427-x^3 + x^2 = \frac{4}{27}
x3−x2+427=0x^3 - x^2 + \frac{4}{27} = 0
x=23x = \frac{2}{3} で重解を持つので、
(x−23)2(x+13)=0(x - \frac{2}{3})^2 (x + \frac{1}{3}) = 0
したがって、x=23,−13x = \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}
(3) CC と ll で囲まれた図形の面積を求める。積分区間は −13-\frac{1}{3} から 23\frac{2}{3}。
∫−1323(427−(−x3+x2))dx=∫−1323(x3−x2+427)dx=[14x4−13x3+427x]−1323\int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} (\frac{4}{27} - (-x^3 + x^2)) dx = \int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} (x^3 - x^2 + \frac{4}{27}) dx = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + \frac{4}{27}x]_{-\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}
=(14(23)4−13(23)3+427(23))−(14(−13)4−13(−13)3+427(−13))= (\frac{1}{4}(\frac{2}{3})^4 - \frac{1}{3}(\frac{2}{3})^3 + \frac{4}{27}(\frac{2}{3})) - (\frac{1}{4}(-\frac{1}{3})^4 - \frac{1}{3}(-\frac{1}{3})^3 + \frac{4}{27}(-\frac{1}{3}))
=(14⋅1681−13⋅827+881)−(14⋅181−13⋅(−127)−481)= (\frac{1}{4}\cdot \frac{16}{81} - \frac{1}{3}\cdot \frac{8}{27} + \frac{8}{81}) - (\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{81} - \frac{1}{3}\cdot (-\frac{1}{27}) - \frac{4}{81})
=(481−881+881)−(1324+181−481)= (\frac{4}{81} - \frac{8}{81} + \frac{8}{81}) - (\frac{1}{324} + \frac{1}{81} - \frac{4}{81})
=481−(1324−381)=481−(1324−12324)=481−(−11324)=16324+11324=27324=112= \frac{4}{81} - (\frac{1}{324} - \frac{3}{81}) = \frac{4}{81} - (\frac{1}{324} - \frac{12}{324}) = \frac{4}{81} - (-\frac{11}{324}) = \frac{16}{324} + \frac{11}{324} = \frac{27}{324} = \frac{1}{12}

3. 最終的な答え

(1) a=427a = \frac{4}{27}
(2) x=23,−13x = \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}
(3) 112\frac{1}{12}

「解析学」の関連問題

関数 $y = (\log_3 3x)(\log_3 \frac{x}{27})$ の最大値と最小値を、$\frac{1}{3} \le x \le 27$ の範囲で求める問題です。

対数関数二次関数最大値最小値関数のグラフ平方完成
2025/7/16

$0 < x < \frac{\pi}{4}$ を満たすすべての $x$ に対して、不等式 $\sin 3x + t \sin 2x > 0$ が成り立つような $t$ の値の範囲を求める問題です。

三角関数不等式微分最大値最小値
2025/7/16

関数 $y = 2\sin{x}\cos{x} + \sin{x} + \cos{x}$ について、以下の問いに答える。 (1) $t = \sin{x} + \cos{x}$ とするとき、$y$ を...

三角関数最大値最小値合成二次関数
2025/7/16

関数 $y = \sin x \cos x - \sin^2 x + \frac{1}{2}$ の、$0 \le x \le \pi$ における最大値、最小値、およびそのときの $x$ の値を求めよ。

三角関数最大値最小値三角関数の合成微分
2025/7/16

関数 $y = e^{\frac{1}{x^2-1}}$ のグラフの概形を $-1 < x < 1$ の範囲で描く問題です。

関数のグラフ増減極値漸近線偶関数
2025/7/16

$0 \le \theta < 2\pi$において、$\sin \frac{2}{3}\theta = \frac{1}{4}$のとき、$\cos 2\theta$の値を求める問題です。

三角関数加法定理三角関数の合成
2025/7/16

$x \to 0$ のとき、以下の問題に答えよ。ただし、$a, b, c$ は実数、$l, m, n$ は正の整数とし、$l$ は可能な限り最大の整数とする。 (1) $x^n o(x^n) = o(...

極限テイラー展開o記法マクローリン展開
2025/7/16

与えられた4つの二変数関数 $f(x,y)$ に対して、$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)$ が存在するかどうかを調べ、存在する場合はその値を求める問題です。

多変数関数極限極座標変換連続性
2025/7/16

次の定積分を求めます。 (1) $\int_{1}^{e} x^3 \log x \, dx$ (2) $\int_{0}^{\log 2} e^x (e^x + 1)^2 \, dx$ (3) $\...

定積分部分積分置換積分積分
2025/7/16

与えられた6つの不定積分をそれぞれ求めます。 (1) $\int \frac{3}{2x-1} dx$ (2) $\int \frac{8x-2}{2x^2-x+2} dx$ (3) $\int \f...

不定積分置換積分積分
2025/7/16