$y = -x^3 + x^2$ で表される曲線 $C$ と $y = a$ で表される直線 $l$ がちょうど2つの共有点を持つとき、以下の問題を解きます。 (1) $a$ の値を求めよ。 (2) $C$ と $l$ の共有点の $x$ 座標をすべて求めよ。 (3) $C$ と $l$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

1. 問題の内容

$y = -x^3 + x^2$ で表される曲線 $C$ と $y = a$ で表される直線 $l$ がちょうど2つの共有点を持つとき、以下の問題を解きます。

(1) $a$ の値を求めよ。

(2) $C$ と $l$ の共有点の $x$ 座標をすべて求めよ。

(3) $C$ と $l$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の値を求める。

$C$ と $l$ の共有点の $x$ 座標は、方程式 $-x^3 + x^2 = a$ の解である。この方程式がちょうど2つの解を持つ条件を求める。

$f(x) = -x^3 + x^2$ とおくと、$f'(x) = -3x^2 + 2x = x(-3x + 2)$。

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0$ と $x = \frac{2}{3}$ のとき。

$f(0) = 0$

$f(\frac{2}{3}) = -(\frac{2}{3})^3 + (\frac{2}{3})^2 = -\frac{8}{27} + \frac{4}{9} = \frac{-8 + 12}{27} = \frac{4}{27}$

$f(x)$ は $x = 0$ で極小値 $0$ をとり、$x = \frac{2}{3}$ で極大値 $\frac{4}{27}$ をとる。

$y = a$ が曲線 $C$ とちょうど2つの共有点を持つのは、$a = 0$ または $a = \frac{4}{27}$ のときである。ただし、$a$ は 0 でない実数なので、$a = \frac{4}{27}$ となる。

(2) $C$ と $l$ の共有点の $x$ 座標をすべて求める。

$a = \frac{4}{27}$ のとき、$-x^3 + x^2 = \frac{4}{27}$ を解く。

$-x^3 + x^2 - \frac{4}{27} = 0$

$x^3 - x^2 + \frac{4}{27} = 0$

$x = \frac{2}{3}$ が解であることはわかっているので、$(x - \frac{2}{3})$ で割り切れる。

$(x - \frac{2}{3})(x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{2}{9}) = 0$

$x = \frac{2}{3}$ または $x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{2}{9} = 0$

$9x^2 - 3x - 2 = 0$

$(3x + 1)(3x - 2) = 0$

$x = -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}$

したがって、共有点の $x$ 座標は $-\frac{1}{3}$ と $\frac{2}{3}$ である。

(3) $C$ と $l$ で囲まれた図形の面積を求める。

面積 $S$ は

$S = \int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} (-x^3 + x^2 - \frac{4}{27}) dx = \int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} (-x^3 + x^2 - \frac{4}{27}) dx$

$S = [-\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - \frac{4}{27}x]_{-\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}$

$S = (-\frac{1}{4}(\frac{2}{3})^4 + \frac{1}{3}(\frac{2}{3})^3 - \frac{4}{27}(\frac{2}{3})) - (-\frac{1}{4}(-\frac{1}{3})^4 + \frac{1}{3}(-\frac{1}{3})^3 - \frac{4}{27}(-\frac{1}{3}))$

$S = (-\frac{1}{4}(\frac{16}{81}) + \frac{1}{3}(\frac{8}{27}) - \frac{8}{81}) - (-\frac{1}{4}(\frac{1}{81}) + \frac{1}{3}(-\frac{1}{27}) + \frac{4}{81})$

$S = (-\frac{4}{81} + \frac{8}{81} - \frac{8}{81}) - (-\frac{1}{324} - \frac{1}{81} + \frac{4}{81})$

$S = -\frac{4}{81} - (-\frac{1}{324} + \frac{3}{81}) = -\frac{4}{81} + \frac{1}{324} - \frac{3}{81} = -\frac{7}{81} + \frac{1}{324} = \frac{-28 + 1}{324} = -\frac{27}{324} = -\frac{1}{12}$

計算ミスがあるのでやり直し。

$S = \int_{-1/3}^{2/3} (-x^3+x^2-\frac{4}{27}) dx = \int_{-1/3}^{2/3} (-x^3+x^2) dx - \int_{-1/3}^{2/3} \frac{4}{27} dx = [-\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}]_{-1/3}^{2/3} - \frac{4}{27} [x]_{-1/3}^{2/3}$

$= (-\frac{16}{324}+\frac{8}{81}) - (-\frac{1}{324} - \frac{1}{81*3}) - \frac{4}{27}*(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}) = \frac{-16 + 32}{324} + \frac{1 + 4/3}{324} - \frac{4}{27} = \frac{16}{324}+\frac{7}{324} - \frac{4}{27} = \frac{23}{324} - \frac{48}{324} = -\frac{25}{324}$ 絶対値をとって

$\frac{25}{324}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{4}{27}$

(2) $x = -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}$

(3) $\frac{25}{324}$