定積分 $\int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} (-x^3 + x^2 - \frac{4}{27}) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} (-x^3 + x^2 - \frac{4}{27}) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を計算します。

$\int (-x^3 + x^2 - \frac{4}{27}) dx = -\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - \frac{4}{27}x + C$

次に、積分範囲 $-\frac{1}{3}$ から $\frac{2}{3}$ までの定積分を計算します。

$\int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} (-x^3 + x^2 - \frac{4}{27}) dx = \left[-\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - \frac{4}{27}x \right]_{-\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}$

$\left[-\frac{(\frac{2}{3})^4}{4} + \frac{(\frac{2}{3})^3}{3} - \frac{4}{27}(\frac{2}{3})\right] - \left[-\frac{(-\frac{1}{3})^4}{4} + \frac{(-\frac{1}{3})^3}{3} - \frac{4}{27}(-\frac{1}{3})\right]$

$= \left[-\frac{16}{324} + \frac{8}{81} - \frac{8}{81}\right] - \left[-\frac{1}{324} - \frac{1}{81} + \frac{4}{81}\right]$

$= -\frac{16}{324} - \left[-\frac{1}{324} + \frac{3}{81}\right]$

$= -\frac{16}{324} + \frac{1}{324} - \frac{3}{81}$

$= -\frac{15}{324} - \frac{12}{324}$

$= -\frac{27}{324}$

$= -\frac{1}{12}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{12}$