$a$ を0でない実数とします。曲線 $C: y = -x^3 + x^2$ と直線 $l: y=a$ があり、$C$ と $l$ は共有点をちょうど2つ持つとします。 (1) $a$ の値を求めよ。 (2) $C$ と $l$ の共有点の $x$ 座標をすべて求めよ。 (3) $C$ と $l$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を0でない実数とします。曲線 $C: y = -x^3 + x^2$ と直線 $l: y=a$ があり、$C$ と $l$ は共有点をちょうど2つ持つとします。

(1) $a$ の値を求めよ。

(2) $C$ と $l$ の共有点の $x$ 座標をすべて求めよ。

(3) $C$ と $l$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $C$ と $l$ の共有点の $x$ 座標を求めるには、$-x^3 + x^2 = a$ を解けば良い。これは、$x^3 - x^2 + a = 0$ を解くことと同じである。$C$ と $l$ が共有点をちょうど2つ持つ条件は、$x^3 - x^2 + a = 0$ が重解を持つことである。

$f(x) = -x^3 + x^2$ とすると、$f'(x) = -3x^2 + 2x = x(-3x + 2)$。

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0, \frac{2}{3}$ のとき。

$f(0) = 0$、$f(\frac{2}{3}) = -\frac{8}{27} + \frac{4}{9} = \frac{-8 + 12}{27} = \frac{4}{27}$。

$C$ と $l$ が共有点を2つ持つのは、$a=0$ または $a = \frac{4}{27}$ のとき。$a$ は0でないので、$a = \frac{4}{27}$。

(2) $y = -x^3 + x^2$ と $y = \frac{4}{27}$ の交点を求める。

$-x^3 + x^2 = \frac{4}{27}$ より $x^3 - x^2 + \frac{4}{27} = 0$。

これは $x = \frac{2}{3}$ を重解に持つので、$(x - \frac{2}{3})^2 (x - \alpha) = 0$ と書ける。

$(x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9})(x - \alpha) = x^3 - (\alpha + \frac{4}{3})x^2 + (\frac{4}{3}\alpha + \frac{4}{9})x - \frac{4}{9}\alpha = x^3 - x^2 + 0x + \frac{4}{27}$。

係数を比較すると、

$\alpha + \frac{4}{3} = 1$ より $\alpha = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$。

$-\frac{4}{9}\alpha = \frac{4}{27}$ より $\alpha = -\frac{1}{3}$。

よって、$(x - \frac{2}{3})^2 (x + \frac{1}{3}) = 0$。

$x = \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}$。

(3) 面積を求める。$\frac{2}{3}$ と $-\frac{1}{3}$ で囲まれる部分の面積。

$S = \int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} (-x^3 + x^2 - \frac{4}{27})dx = \int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} -(x - \frac{2}{3})^2 (x + \frac{1}{3})dx$

$= \int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} -(x^3 - x^2 + \frac{4}{27}) dx = \int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} -x^3 + x^2 - \frac{4}{27} dx$

$= [-\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{4}{27}x]_{-\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}$

$= (-\frac{1}{4}(\frac{2}{3})^4 + \frac{1}{3}(\frac{2}{3})^3 - \frac{4}{27}(\frac{2}{3})) - (-\frac{1}{4}(-\frac{1}{3})^4 + \frac{1}{3}(-\frac{1}{3})^3 - \frac{4}{27}(-\frac{1}{3}))$

$= (-\frac{1}{4} \cdot \frac{16}{81} + \frac{1}{3} \cdot \frac{8}{27} - \frac{8}{81}) - (-\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{81} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{27} + \frac{4}{81})$

$= (-\frac{4}{81} + \frac{8}{81} - \frac{8}{81}) - (-\frac{1}{324} - \frac{1}{81} + \frac{4}{81})$

$= -\frac{4}{81} - (-\frac{1}{324} + \frac{3}{81}) = -\frac{4}{81} + \frac{1}{324} - \frac{3}{81} = -\frac{7}{81} + \frac{1}{324}$

$= \frac{-28 + 1}{324} = -\frac{27}{324} = -\frac{1}{12}$

符号が逆なので、絶対値を取る。

$\int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} (-x+\frac{2}{3})^2(x+\frac{1}{3})dx = \frac{1}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{4}{27}$

(2) $x = \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}$

(3) $\frac{1}{4}$

面積$=\frac{1}{12}$