曲線 $C: y = -x^3 + x^2$ と直線 $l: y = a$ がちょうど2つの共有点を持つとき、以下の問いに答える。 (1) $a$ の値を求めよ。 (2) $C$ と $l$ の共有点の $x$ 座標をすべて求めよ。 (3) $C$ と $l$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = -x^3 + x^2$ と直線 $l: y = a$ がちょうど2つの共有点を持つとき、以下の問いに答える。

(1) $a$ の値を求めよ。

(2) $C$ と $l$ の共有点の $x$ 座標をすべて求めよ。

(3) $C$ と $l$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $C$ と $l$ の共有点の $x$ 座標は、方程式 $-x^3 + x^2 = a$ の解である。この方程式がちょうど2つの実数解を持つとき、$a$ の値を求める。

関数 $f(x) = -x^3 + x^2$ のグラフを描くために、微分を計算する。

$f'(x) = -3x^2 + 2x = x(-3x + 2)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値は $x = 0, \frac{2}{3}$。

$f(0) = 0$, $f(\frac{2}{3}) = -(\frac{2}{3})^3 + (\frac{2}{3})^2 = -\frac{8}{27} + \frac{4}{9} = \frac{-8 + 12}{27} = \frac{4}{27}$

したがって、$f(x)$ は $x=0$ で極小値 $0$ をとり、$x=\frac{2}{3}$ で極大値 $\frac{4}{27}$ をとる。

$y = a$ が $f(x)$ のグラフとちょうど2つの共有点を持つのは、$a = 0$ または $a = \frac{4}{27}$ のときである。

問題文より、$a$ は 0 でない実数なので、$a = \frac{4}{27}$。

(2) $a = \frac{4}{27}$ のとき、$-x^3 + x^2 = \frac{4}{27}$ を解く。

$-x^3 + x^2 - \frac{4}{27} = 0$

$x^3 - x^2 + \frac{4}{27} = 0$

$x = \frac{2}{3}$ が重解となるので、$(x - \frac{2}{3})^2$ で割り切れるはず。

$(x - \frac{2}{3})^2 = x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9}$

$x^3 - x^2 + \frac{4}{27} = (x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9})(x + \frac{1}{3}) = (x - \frac{2}{3})^2(x + \frac{1}{3}) = 0$

したがって、$x = \frac{2}{3}$ (重解), $x = -\frac{1}{3}$

共有点の $x$ 座標は $x = -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}$。

(3) $C$ と $l$ で囲まれた図形の面積を求める。

$S = \int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} ((-x^3 + x^2) - \frac{4}{27}) dx = \int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} (-x^3 + x^2 - \frac{4}{27}) dx$

$= [-\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{4}{27}x]_{-\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}$

$= (-\frac{1}{4}(\frac{2}{3})^4 + \frac{1}{3}(\frac{2}{3})^3 - \frac{4}{27}(\frac{2}{3})) - (-\frac{1}{4}(-\frac{1}{3})^4 + \frac{1}{3}(-\frac{1}{3})^3 - \frac{4}{27}(-\frac{1}{3}))$

$= (-\frac{1}{4} \cdot \frac{16}{81} + \frac{1}{3} \cdot \frac{8}{27} - \frac{8}{81}) - (-\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{81} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{27} + \frac{4}{81})$

$= (-\frac{4}{81} + \frac{8}{81} - \frac{8}{81}) - (-\frac{1}{324} - \frac{1}{81} + \frac{4}{81})$

$= -\frac{4}{81} - (-\frac{1}{324} + \frac{3}{81}) = -\frac{4}{81} + \frac{1}{324} - \frac{3}{81} = -\frac{7}{81} + \frac{1}{324} = \frac{-28 + 1}{324} = -\frac{27}{324} = -\frac{1}{12} + \frac{1}{108}$

ただし積分範囲は、$-x^3 + x^2 >= a$ の範囲である。

$S = \int_{-1/3}^{2/3} (-x^3 + x^2 - \frac{4}{27}) dx = [\frac{-x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - \frac{4x}{27}]_{-1/3}^{2/3} = \frac{1}{108}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{4}{27}$

(2) $x = -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}$

(3) $\frac{1}{108}$