曲線 $C: y = -x^3 + x^2$ と直線 $l: y = a$ (ただし、$a \neq 0$) がちょうど2つの共有点を持つとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $a$ の値を求める。 (2) $C$ と $l$ の共有点の $x$ 座標をすべて求める。 (3) $C$ と $l$ で囲まれた図形の面積を求める。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = -x^3 + x^2$ と直線 $l: y = a$ (ただし、$a \neq 0$) がちょうど2つの共有点を持つとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $a$ の値を求める。

(2) $C$ と $l$ の共有点の $x$ 座標をすべて求める。

(3) $C$ と $l$ で囲まれた図形の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の値を求める。

$y = -x^3 + x^2$ と $y = a$ の共有点の個数を求めるため、$-x^3 + x^2 = a$ を解きます。

$-x^3 + x^2 - a = 0$ となります。

$f(x) = -x^3 + x^2$ とおくと、$f'(x) = -3x^2 + 2x = x(-3x + 2)$ です。

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 0, \frac{2}{3}$ のときです。

$x = 0$ のとき、$f(0) = 0$

$x = \frac{2}{3}$ のとき、$f(\frac{2}{3}) = -(\frac{2}{3})^3 + (\frac{2}{3})^2 = -\frac{8}{27} + \frac{4}{9} = -\frac{8}{27} + \frac{12}{27} = \frac{4}{27}$

$C$と$l$が2つの共有点を持つのは、$a = \frac{4}{27}$ のときです。

(2) $C$ と $l$ の共有点の $x$ 座標をすべて求める。

$-x^3 + x^2 = \frac{4}{27}$ より、$x^3 - x^2 + \frac{4}{27} = 0$ です。

$x = \frac{2}{3}$ で重解を持つので、$x^3 - x^2 + \frac{4}{27} = (x - \frac{2}{3})^2 (x + \frac{1}{3}) = 0$

よって、$x = \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}$ です。

(3) $C$ と $l$ で囲まれた図形の面積を求める。

求める面積は、$\int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} (\frac{4}{27} - (-x^3 + x^2)) dx$ です。

$\int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} (x^3 - x^2 + \frac{4}{27}) dx = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + \frac{4}{27}x]_{-\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}$

$= (\frac{1}{4}(\frac{2}{3})^4 - \frac{1}{3}(\frac{2}{3})^3 + \frac{4}{27}(\frac{2}{3})) - (\frac{1}{4}(-\frac{1}{3})^4 - \frac{1}{3}(-\frac{1}{3})^3 + \frac{4}{27}(-\frac{1}{3}))$

$= (\frac{1}{4} \cdot \frac{16}{81} - \frac{1}{3} \cdot \frac{8}{27} + \frac{8}{81}) - (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{81} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{27} - \frac{4}{81})$

$= (\frac{4}{81} - \frac{8}{81} + \frac{8}{81}) - (\frac{1}{324} + \frac{1}{81} - \frac{4}{81})$

$= \frac{4}{81} - (\frac{1}{324} - \frac{3}{81}) = \frac{4}{81} - (\frac{1}{324} - \frac{12}{324}) = \frac{4}{81} + \frac{11}{324} = \frac{16}{324} + \frac{11}{324} = \frac{27}{324} = \frac{1}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{4}{27}$

(2) $x = \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}$

(3) $\frac{1}{12}$