曲線 $C: y = -x^3 + x^2$ と直線 $l: y = a$ (ただし、$a$ は 0 でない実数) が与えられており、これらがちょうど2つの共有点を持つとき、以下の問題を解く。 (1) $a$ の値を求める。 (2) $C$ と $l$ の共有点の $x$ 座標をすべて求める。 (3) $C$ と $l$ で囲まれた図形の面積を求める。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = -x^3 + x^2$ と直線 $l: y = a$ (ただし、$a$ は 0 でない実数) が与えられており、これらがちょうど2つの共有点を持つとき、以下の問題を解く。

(1) $a$ の値を求める。

(2) $C$ と $l$ の共有点の $x$ 座標をすべて求める。

(3) $C$ と $l$ で囲まれた図形の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の値を求める。

$C$ と $l$ の共有点の $x$ 座標は、方程式 $-x^3 + x^2 = a$ の解である。

$-x^3 + x^2 - a = 0$

$x^3 - x^2 + a = 0$

この方程式が異なる2つの実数解を持つのは、曲線 $y = -x^3 + x^2$ が極値を取り、$y = a$ が極値を通るときである。

$y = -x^3 + x^2$ を微分すると、

$y' = -3x^2 + 2x$

$y' = 0$ となる $x$ は、

$-3x^2 + 2x = 0$

$x(-3x + 2) = 0$

$x = 0$ または $x = \frac{2}{3}$

$x = 0$ のとき、$y = -0^3 + 0^2 = 0$

$x = \frac{2}{3}$ のとき、$y = -(\frac{2}{3})^3 + (\frac{2}{3})^2 = -\frac{8}{27} + \frac{4}{9} = -\frac{8}{27} + \frac{12}{27} = \frac{4}{27}$

$a$ は 0 でない実数なので、$a = \frac{4}{27}$

(2) $C$ と $l$ の共有点の $x$ 座標をすべて求める。

$y = -x^3 + x^2$ と $y = \frac{4}{27}$ の共有点の $x$ 座標を求める。

$-x^3 + x^2 = \frac{4}{27}$

$x^3 - x^2 + \frac{4}{27} = 0$

$x = \frac{2}{3}$ は重解であるから、$(x - \frac{2}{3})^2$ で割り切れる。

$(x - \frac{2}{3})^2 = x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9}$

$x^3 - x^2 + \frac{4}{27} = (x - \frac{2}{3})^2(x - b) = (x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9})(x - b)$

$x^3 - (\frac{4}{3} + b)x^2 + (\frac{4}{9} + \frac{4}{3}b)x - \frac{4}{9}b = x^3 - x^2 + \frac{4}{27}$

$\frac{4}{3} + b = 1$ より $b = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$

$-\frac{4}{9}b = \frac{4}{27}$ より $b = -\frac{1}{3}$

したがって、$x^3 - x^2 + \frac{4}{27} = (x - \frac{2}{3})^2(x + \frac{1}{3}) = 0$

$x = \frac{2}{3}$ (重解) または $x = -\frac{1}{3}$

共有点の $x$ 座標は、$-\frac{1}{3}$ と $\frac{2}{3}$

(3) $C$ と $l$ で囲まれた図形の面積を求める。

面積 $S$ は、

$S = \int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} (-x^3 + x^2 - \frac{4}{27}) dx = \int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} -(x - \frac{2}{3})^2(x + \frac{1}{3}) dx = -\int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} (x^3 - x^2 + \frac{4}{27}) dx$

$S = -[\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + \frac{4}{27}x]_{-\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} = -[(\frac{1}{4}(\frac{2}{3})^4 - \frac{1}{3}(\frac{2}{3})^3 + \frac{4}{27}(\frac{2}{3})) - (\frac{1}{4}(-\frac{1}{3})^4 - \frac{1}{3}(-\frac{1}{3})^3 + \frac{4}{27}(-\frac{1}{3}))] = \frac{1}{108}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{4}{27}$

(2) $x = -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}$

(3) $\frac{1}{108}$