関数 $f(x,y) = 4(x^2 + y^2) \cos^3(x+2y)$ をマクローリン展開する。

1. 問題の内容

関数 $f(x,y) = 4(x^2 + y^2) \cos^3(x+2y)$ をマクローリン展開する。

2. 解き方の手順

与えられた関数は $f(x,y) = 4(x^2+y^2)\cos^3(x+2y)$ である。

$\cos^3\theta = \frac{1}{4}(\cos 3\theta + 3\cos \theta)$ の公式を用いると、

$\cos^3(x+2y) = \frac{1}{4}(\cos(3(x+2y)) + 3\cos(x+2y)) = \frac{1}{4}(\cos(3x+6y) + 3\cos(x+2y))$ となる。

したがって、

$f(x,y) = 4(x^2+y^2) \cdot \frac{1}{4} (\cos(3x+6y) + 3\cos(x+2y)) = (x^2+y^2)(\cos(3x+6y) + 3\cos(x+2y))$ となる。

$\cos x$ のマクローリン展開は $\cos x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k}$ であるから、

$\cos(3x+6y) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} (3x+6y)^{2k}$

$\cos(x+2y) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} (x+2y)^{2k}$

したがって、

$f(x,y) = (x^2+y^2) \left[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} (3x+6y)^{2k} + 3 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} (x+2y)^{2k} \right]$

$f(x,y) = (x^2+y^2) \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} \left[ (3x+6y)^{2k} + 3(x+2y)^{2k} \right]$

3. 最終的な答え

$f(x,y) = (x^2+y^2) \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} \left[ (3x+6y)^{2k} + 3(x+2y)^{2k} \right]$