(1) 3人でじゃんけんを1回するとき、ただ1人の勝者が決まる確率を求める。 (2) 3人でじゃんけんを1回するとき、あいこになる確率を求める。 (3) 袋の中に、赤玉と白玉が合わせて8個入っている。いま、これから同時に2個の玉を取り出すとき、赤玉と白玉が各1個出る確率が $\frac{3}{7}$ である。赤玉の個数は何個であるかを求める。

1. 問題の内容

(1) 3人でじゃんけんを1回するとき、ただ1人の勝者が決まる確率を求める。

(2) 3人でじゃんけんを1回するとき、あいこになる確率を求める。

(3) 袋の中に、赤玉と白玉が合わせて8個入っている。いま、これから同時に2個の玉を取り出すとき、赤玉と白玉が各1個出る確率が $\frac{3}{7}$ である。赤玉の個数は何個であるかを求める。

2. 解き方の手順

(1)

3人が出す手の組み合わせは、各々がグー、チョキ、パーの3通りを出せるので、全部で $3 \times 3 \times 3 = 27$ 通りある。

1人の勝者が決まる場合は、勝つ手がグー、チョキ、パーのいずれであるかと、誰が勝つかの場合を考える。

グーで勝つ場合：グー、チョキ、チョキの組み合わせで、勝つ人を考えると3通り。

チョキで勝つ場合：チョキ、パー、パーの組み合わせで、勝つ人を考えると3通り。

パーで勝つ場合：パー、グー、グーの組み合わせで、勝つ人を考えると3通り。

よって、1人の勝者が決まるのは $3 + 3 + 3 = 9$ 通り。

確率は $\frac{9}{27} = \frac{1}{3}$。

(2)

3人が出す手の組み合わせは全部で27通り。

あいこになるのは、全員が同じ手を出す場合（グー、グー、グー、チョキ、チョキ、チョキ、パー、パー、パーの3通り）と、全員が異なる手を出す場合（グー、チョキ、パーの並び順を考えて $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り）がある。

よって、あいこになるのは $3 + 6 = 9$ 通り。

確率は $\frac{9}{27} = \frac{1}{3}$。

(3)

赤玉の個数を $x$ とすると、白玉の個数は $8-x$ である。

2個の玉を取り出す組み合わせの総数は ${}_8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ 通り。

赤玉1個、白玉1個を取り出す組み合わせの数は $x(8-x)$ 通り。

赤玉と白玉が各1個出る確率は $\frac{x(8-x)}{28} = \frac{3}{7}$。

$x(8-x) = \frac{3}{7} \times 28 = 12$

$8x - x^2 = 12$

$x^2 - 8x + 12 = 0$

$(x-2)(x-6) = 0$

$x=2$ または $x=6$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{3}$

(2) $\frac{1}{3}$

(3) 2個または6個