$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く。 $2\cos^2 \theta - \sin \theta - 1 = 0$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く。

$2\cos^2 \theta - \sin \theta - 1 = 0$

2. 解き方の手順

まず、$\cos^2 \theta$ を $\sin \theta$ で表すために、三角関数の恒等式 $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ を用いる。

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ となる。

これを元の方程式に代入すると、

$2(1 - \sin^2 \theta) - \sin \theta - 1 = 0$

$2 - 2\sin^2 \theta - \sin \theta - 1 = 0$

$-2\sin^2 \theta - \sin \theta + 1 = 0$

$2\sin^2 \theta + \sin \theta - 1 = 0$

ここで、$x = \sin \theta$ とおくと、

$2x^2 + x - 1 = 0$

この二次方程式を解く。因数分解すると、

$(2x - 1)(x + 1) = 0$

よって、$x = \frac{1}{2}$ または $x = -1$

したがって、$\sin \theta = \frac{1}{2}$ または $\sin \theta = -1$

$\sin \theta = \frac{1}{2}$ のとき、

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

$\sin \theta = -1$ のとき、

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、$\theta = \frac{3\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$