Aの箱には赤玉2個、白玉3個、Bの箱には赤玉3個、白玉3個、Cの箱には赤玉4個、白玉3個が入っている。この中から1箱を選んで1個の玉を取り出すとき、それが赤玉である確率と、赤玉を取り出したとき、選んだ箱がAの箱である条件付き確率を求める問題です。ただし、箱を選ぶ確率はどの箱も等しく $\frac{1}{3}$ であるとします。

1. 問題の内容

Aの箱には赤玉2個、白玉3個、Bの箱には赤玉3個、白玉3個、Cの箱には赤玉4個、白玉3個が入っている。この中から1箱を選んで1個の玉を取り出すとき、それが赤玉である確率と、赤玉を取り出したとき、選んだ箱がAの箱である条件付き確率を求める問題です。ただし、箱を選ぶ確率はどの箱も等しく $\frac{1}{3}$ であるとします。

2. 解き方の手順

(1) 赤玉である確率を求める。

箱Aを選ぶ確率を$P(A)$、箱Bを選ぶ確率を$P(B)$、箱Cを選ぶ確率を$P(C)$とする。

赤玉を取り出す事象を$R$とする。

$P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{3}$ である。

箱Aで赤玉を取り出す確率を$P(R|A)$、箱Bで赤玉を取り出す確率を$P(R|B)$、箱Cで赤玉を取り出す確率を$P(R|C)$とする。

$P(R|A) = \frac{2}{5}$

$P(R|B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$P(R|C) = \frac{4}{7}$

赤玉を取り出す確率$P(R)$は、次のようになる。

$P(R) = P(R|A)P(A) + P(R|B)P(B) + P(R|C)P(C)$

$P(R) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{3}$

$P(R) = \frac{1}{3} (\frac{2}{5} + \frac{1}{2} + \frac{4}{7})$

$P(R) = \frac{1}{3} (\frac{28}{70} + \frac{35}{70} + \frac{40}{70})$

$P(R) = \frac{1}{3} \cdot \frac{103}{70}$

$P(R) = \frac{103}{210}$

(2) 赤玉を取り出したとき、選んだ箱がAの箱である条件付き確率を求める。

求める条件付き確率は$P(A|R)$である。

ベイズの定理より、

$P(A|R) = \frac{P(R|A)P(A)}{P(R)}$

$P(A|R) = \frac{\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{103}{210}}$

$P(A|R) = \frac{\frac{2}{15}}{\frac{103}{210}}$

$P(A|R) = \frac{2}{15} \cdot \frac{210}{103}$

$P(A|R) = \frac{2 \cdot 14}{103}$

$P(A|R) = \frac{28}{103}$

3. 最終的な答え

赤玉である確率は $\frac{103}{210}$

赤玉を取り出したとき、選んだ箱がAの箱である条件付き確率は $\frac{28}{103}$