## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容

**(1)** $n$項ベクトルである3つのベクトル $x_1, x_2, x_3$ が、2つの$n$項ベクトル $v_1, v_2$ の線形結合で表されるとき、$x_1, x_2, x_3$ は線形従属であることを証明する。

**(2)** $n \ge 2$ である自然数 $n$ に対して、$n$ 個の実数 $a_1, a_2, ..., a_n$ が与えられたとき、$(i, j)$ 成分が $\sin(a_i + a_j)$ であるような $n$ 次正方行列 $A$ の行列式 $\det A$ を求める。

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2. 解き方の手順

**(1)**

$x_1, x_2, x_3$ が $v_1, v_2$ の線形結合で表されるとする。すなわち、ある係数 $a_{ij}$ が存在して、

$x_1 = a_{11}v_1 + a_{21}v_2$

$x_2 = a_{12}v_1 + a_{22}v_2$

$x_3 = a_{13}v_1 + a_{23}v_2$

このとき、$x_1, x_2, x_3$ が線形従属であるとは、少なくとも1つは0でない係数 $c_1, c_2, c_3$ が存在して、

$c_1x_1 + c_2x_2 + c_3x_3 = 0$

が成り立つことを意味する。上記の $x_1, x_2, x_3$ の表現を代入すると、

$c_1(a_{11}v_1 + a_{21}v_2) + c_2(a_{12}v_1 + a_{22}v_2) + c_3(a_{13}v_1 + a_{23}v_2) = 0$

これを $v_1, v_2$ について整理すると、

$(c_1a_{11} + c_2a_{12} + c_3a_{13})v_1 + (c_1a_{21} + c_2a_{22} + c_3a_{23})v_2 = 0$

ここで、連立一次方程式

$a_{11}c_1 + a_{12}c_2 + a_{13}c_3 = 0$

$a_{21}c_1 + a_{22}c_2 + a_{23}c_3 = 0$

を考える。この連立方程式は、$c_1, c_2, c_3$ に関する2つの式で、3つの未知数を持つので、自明でない解 $(c_1, c_2, c_3)$ が存在する。つまり、少なくとも1つは0でない $c_1, c_2, c_3$ が存在して上記の式を満たす。

したがって、$x_1, x_2, x_3$ は線形従属である。

**(2)**

$A$ の $(i, j)$ 成分は $\sin(a_i + a_j) = \sin a_i \cos a_j + \cos a_i \sin a_j$ である。

$v_1 = \begin{pmatrix} \cos a_1 \\ \cos a_2 \\ \vdots \\ \cos a_n \end{pmatrix}$, $v_2 = \begin{pmatrix} \sin a_1 \\ \sin a_2 \\ \vdots \\ \sin a_n \end{pmatrix}$ とおくと、$A$ の第 $j$ 列ベクトルは $(\sin a_j)v_1 + (\cos a_j)v_2$ と表せる。

* $n = 2$ の場合：

$A = \begin{pmatrix} \sin(a_1 + a_1) & \sin(a_1 + a_2) \\ \sin(a_2 + a_1) & \sin(a_2 + a_2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin(2a_1) & \sin(a_1 + a_2) \\ \sin(a_1 + a_2) & \sin(2a_2) \end{pmatrix}$

$\det A = \sin(2a_1)\sin(2a_2) - \sin^2(a_1 + a_2) = 4 \sin a_1 \cos a_1 \sin a_2 \cos a_2 - \sin^2(a_1 + a_2)$

加法定理を用いると、

$\sin^2(a_1 + a_2) = (\sin a_1 \cos a_2 + \cos a_1 \sin a_2)^2 = \sin^2 a_1 \cos^2 a_2 + 2 \sin a_1 \cos a_1 \sin a_2 \cos a_2 + \cos^2 a_1 \sin^2 a_2$

$\det A = 4 \sin a_1 \cos a_1 \sin a_2 \cos a_2 - (\sin^2 a_1 \cos^2 a_2 + 2 \sin a_1 \cos a_1 \sin a_2 \cos a_2 + \cos^2 a_1 \sin^2 a_2) = 2 \sin a_1 \cos a_1 \sin a_2 \cos a_2 - \sin^2 a_1 \cos^2 a_2 - \cos^2 a_1 \sin^2 a_2 = -(\sin a_1 \cos a_2 - \cos a_1 \sin a_2)^2 = -\sin^2(a_1 - a_2)$

* $n \ge 3$ の場合：

$A$ の各列は、$v_1$ と $v_2$ の線形結合で表されるので、$A$ の列空間は $v_1$ と $v_2$ で張られる空間に含まれる。したがって、列空間の次元は高々2である。もし $n \ge 3$ なら、$A$ の列ベクトルは線形従属になる。

線形従属な列を持つ行列の行列式は0であるため、$\det A = 0$

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3. 最終的な答え

**(1)** $x_1, x_2, x_3$ は線形従属である。（証明は上記の通り）

**(2)**

* $n = 2$ のとき、$\det A = -\sin^2(a_1 - a_2)$

* $n \ge 3$ のとき、$\det A = 0$